ФИЗИКА КРИСТАЛЛОВ

 

Профессор А.С. Виноградов

 

 

Введение.

Основные задачи курса, содержание, связь с другими спецкурсами, историческая справка.

 

1. Основные сведения из геометрической кристаллографии.

      Кристаллическое состояние. Макроскопические характеристики кристаллов (однородность, анизотропия, симметрия, внешняя огранка). Законы внешней огранки. Микроструктура кристаллов ( гомологичные точки,трансляции,узлы, ряды, ячейки, сетки, решетки). Пространственная решетка и решетка Бравэ. Кристаллографическая элементарная ячейка (ЭЯ) и ячейка Вигнера-Зейтца. Кристаллографическая и кристаллофизическая (ортогональная) системы координат. Экспериментальные свидетельства периодичности микроструктуры кристаллов.

       Метод кристаллического индицирования: символы узлов (вершин); символы кристаллографических направлений и узловых рядов (ребер); символы узловых плоскостей (граней)- индексы Миллера. Кристаллографические проекции: прямой и обратный (полярный) кристаллографический комплексы; сферическая и гномосферичесая проекции; стереографическая и гномостереографическая проекции; линейная и гномоническая проекциии; связь между проекциями; использование проекций в физике кристаллов; сетка Вульфа и основные задачи, решаемые с её помощью.

       Элементы точечной симметрии кристаллического пространства: центр симметрии, простая поворотная ось симметрии, инверсионная ось симметрии, зеркально-поворотная ось симметрии, плоскость симметрии. Матричное представление операций точечной симметрии в кристаллофизической системе координат. Теорема о возможных типах простых осей симметрии в кристаллах и типах плоских сеток. Квазикристаллы. Изображение элементов точечной симметрии на проекциях. Системы обозначений элементов точечной симметрии: учебная (Бравэ), международная. Теоремы о сочетании элементов симметрии: пересечение плоскостей симметрии; пересечение чётной оси симметрии с перпендикулярной ей плоскостью симметрии; пересечение оси симметрии с перпендикулярной ей осью второго порядка; плоскость симметрии и лежащая в ней простая ось симметрии; плоскость симметрии и лежащая в ней четная инверсионная ось симметрии; теорема Эйлера о равнодействующей двух пересекающихся осей симметрии. Возможные сочетания осей симметрии в кристаллах.

       Точечная симметрия плоских сеток Бравэ. Кристаллические системы (косоугольная, прямоугольная, квадратная, гексагональная) для сеток Бравэ: вывод и описание. Точечная симметрия трехмерных решеток Бравэ. Описание кристаллических систем (триклинной, моноклинной, ромбической, тригональной, тетрагональной, гексагональной и кубической) для решеток Бравэ. Решетки Бравэ как основа кристаллографических систем координат. Особые (единичные) направления. Кристаллографические категории, системы и сингонии. Правила кристаллографической установки.

       Точечная симметрия пространственных решеток. Кристаллические классы как точечные группы симметрии кристаллов. Абстрактные (математические) группы и их связь с кристаллическими группами (классами). Символика для кристаллических классов: учебная (Бравэ), международная, по Шёнфлису, по Шубникову. Вывод и описание 32 кристаллических классов. Центросимметричные и ацентрические, энантиоморфные и неэнантиоморфные, лауэвские классы. Кристаллические классы как подгруппы двух точечных групп - кубической и гексагональной. Распределение кристаллов по сингониям и классам симметрии. Симметрически эквивалентные комплексы плоскостей и направлений. Простые формы кристаллов: общая и частная формы, значность формы, физически различные одинаковые простые формы. Предельные группы симметрии (группы Кюри). Антисимметрия.

       Элементы пространственной симметрии кристаллов: трансляции, плоскости скользящего отражения, винтовые оси. Изображение элементов пространственной симметрии на проекциях. Пространственная группа и её связь с группой трансляций и точечной группой. Теоремы о сочетании элементов пространственной симметрии: отражение в двух параллельных плоскостях; плоскость симметрии и перпендикулярная (наклонная) трансляция; отражение в двух пересекающихся плоскостях симметрии; простая (инверсионная, винтовая) ось симметрии и перпендикулярная (наклонная) трансляция.

       Пространственные группы (типы) плоских сеток Бравэ: косоугольная, прямоугольная, прямоугольная центрированная (ромбическая), квадратная и гексагональная (треугольная). 14 пространственных групп (типов) решёток Бравэ (описание). Трансляционные подгруппы для трёх кубических решёток Бравэ. Выбор трансляционной подгруппы для гексагональных и тригональных кристаллов. Ячейка Вигнера-Зейтца для решёток Бравэ.

       Пространственные группы симметрии кристаллов. Симморфные и несимморфные пространственные группы. Правильные системы точек (ПСТ): общего и частного положения, кратность ПСТ, точечная симметрия позиции точки, кратность (степень вырождения) точки, координаты точек ПСТ, связь химической формулы кристалла с ПСТ. Символика пространственных групп: международная и по Шёнфлису. Международные обозначения для симметрично эквивалентных точек ПСТ.

       Взаимный векторный базис (ковариантный и контравариантный) кристаллографических координатных систем. Обратная решетка и её свойства: объём элементарной ячейки, связь вектора обратной решетки с системой параллельных плоскостей прямого пространства, точечная и пространственная симметрия обратной решётки. Обратная решётка для простой, объемно- и гранецентрированной кубической решётки. Использование обратной решетки в дифракционных структурных исследованиях и в физике твердого тела. Сфера Эвальда и первая зона Бриллюэна. Кристаллическое индицирование и взаимный векторный базис. Индицирование кристаллов гексагональной системы и индексы Бравэ. Некоторые задачи геометрической кристаллографии: определение межплоскостного расстояния, объёма элементарной ячейки, угла между двумя плоскостями (направлениями), угла между прямой и плоскостью.

 

2. Атомная структура кристаллов (кристаллохимия).

       Основные положения теории атомной структуры кристаллов: стабильность внутренних электронных оболочек, относительная стабильность внешних оболочек и стремление к образованию устойчивых атомных групп при химическом связывании, парность взаимодействий, центральный характер взаимодействий. Энергия кристаллической решётки: экспериментальное определение энергии кристалла, цикл Борна-Габера для кристалла NaCl, расчет потенциальной энергии кристалла, энергия Маделунга, постоянная Маделунга, расчет постоянной Маделунга для кристалла NaCl, сжимаемость и объемный модуль упругости для ионного кристалла типа NaCl.

       Геометрические закономерности атомного строения кристаллов: кристаллохимические радиусы: (атомные и ионные), основные закономерности для атомных и ионных радиусов, структурные группировки, гомодесмические и гетеродесмические кристаллы, классификация структур по протяженности структурных группировок (трёхмерные координационно-равные, слоистые, цепные и островные структуры), координация, координационное число и координационный полиэдр, принцип максимального заполнения пространства, связь координации с размерами атомов.

       Плотнейшие атомные упаковки: плотноупакованный слой одинаковых атомов (симметрия, ЭЯ, направления плотной упаковки, число и тип лунок), двухслойная (гексагональная) плотнейшая упаковка и её свойства (точечная и пространственная симметрия, ЭЯ, коэффициент упаковки, c/a=1,633, направления плотной упаковки, тип и характер сцепления полостей), трёхслойная (кубическая) плотнейшая упаковка (точечная и пространственная симметрия, ЭЯ, коэффициент упаковки, направления плотной упаковки, тип и характер сцепления полостей), многослойные плотнейшие упаковки, сложные структуры на основе плотной упаковки шаров.

       Структурный тип. Основные типы структур: структура меди Cu, магния Mg, вольфрама W, каменной соли NaCl, алмаза и графита C, сфалерита и вюрцита ZnS, флюорита CaF2, рутила TiO2, перовскита CaTiO3, кремнезема SiO2. Политипия. Твёрдые растворы и изоморфизм.

 

 

3. Динамика решетки и фазовые переходы.

       Колебания атомов кристалла. Колебания и волны в одномерной решётке из одинаковых атомов: основные приближения, уравнение движения n-го атома, дисперсионное соотношение, решение системы уравнений движения, периодичность решения в обратном пространстве, первая зона Бриллюэна, существование максимальной частоты для волны в атомной цепочке, условие цикличности Борна-Кармана, дискретность частотного спектра, спектральная плотность числа колебаний, связь решений с акустическими волнами.

       Колебания и волны в одномерной сложной (с базисом) решётке: уравнения движения для атомов n-й ячейки, решение системы уравнений движения, дисперсионные соотношения, периодичность решений в обратном пространстве, первая зона Бриллюэна, акустическая и оптическая ветви.

       Колебания и волны в сложной трёхмерной кристаллической решётке, основные результаты: число колебаний, число ветвей колебаний, акустические и оптические колебания, продольные и поперечные акустические волны.

       Нормальные колебания для простой одномерной решётки: определение, представление общего движения атомов цепочки с помощью нормальных колебаний, энергия общего движения как сумма энергий нормальных колебаний (гармонических осцилляторов). Обобщение для трехмерного случая: колеблющаяся решётка как ансамбль независимых гармонических осцилляторов. Фононы-кванты энергии возбуждения гармонического осциллятора. Колеблющаяся решетка как идеальный газ фононов.

       Теплоёмкость кристаллической решётки: закон Дюлонга-Пти, температура Дебая как нижняя граница применимости закона Дюлонга-Пти, средняя энергия гармонического осциллятора в решётке, нулевая энергия осциллятора, полная внутренняя энергия колеблющейся решётки, модель Эйнштейна, модель Дебая

       Линейное тепловое расширение кристалла как следствие ангармонизма колебаний атомов. Теплопроводность.

       Фазовые переходы: фаза, полиморфизм, фазовая диаграмма, фазовые переходы I и II рода, уравнение Клаузиуса-Клапейрона, фазовые переходы и структура. Колебания атомов и полиморфные переходы. Фазовые переходы типа упорядочения. Фотостимулированные фазовые переходы. Уравнение состояния и формула Грюнайзена. Фазовые переходы и симметрия кристаллов.

 

Литература.

1. Шаскольская М.П. Кристаллография. - М.: Высшая школа, 1976.

2. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. - М.: Мир, 1979- в 2-х томах.

3. Сиротин Ю.Н., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. 2-е изд. - М.:Наука,1979.

4. Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников. - М.:Наука,1978.

5. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. - М.: Наука, 1978.

6. Бокий Г.Б. Кристаллохимия. 2-е изд. - М.: Наука, 1971.

7. Современная кристаллография. В 4-х томах. Под ред. Б.К.Вайнштейна. Т.1,2.-М.: Наука, 1979 - 1980.