Приложение 1: Теорема Фурье и плоские монохроматические волны

 

Хорошо известно, что в рамках классической физики исчерпывающее описание электромагнитного поля, дается системой уравнений Максвелла. В общем случае эта система допускает множество существенно различных решений с различными зависимостями от координат и времени E=E(r,t), B=B(r,t) , часть которых соответствует весьма разнообразным типам световых волн. Среди них принято выделять важный класс монохроматических полей, изменяющихся во времени по гармоническому закону:

(2).

(Для рассматриваемого круга вопросов достаточно учета только электрической составляющей поля и использования скалярной формы для ее записи).

Соответствующие различным циклическим частотам w монохроматические поля вызывают у человека зрительные ощущения света различных цветов. Монохроматическое излучение никаким линейным оптическим прибором не может быть разложено на различающиеся по цвету составляющие. Напротив, любое немонохроматическое излучение (например свет электрической лампочки) в соответствии с теоремой Фурье может быть представлено суперпозицией — суммой по дискретному (для периодических) или непрерывному (для ограниченных во времени сигналов) набору частот монохроматических полей (2):

(3).

(здесь и далее суммирование по Фурье-составляющим следует понимать в обобщенном смысле: в случае непрерывного набора частот в (3) подразумевается интегрирование). Математическому представлению (3) в физическом эксперименте соответствует разложение в спектр, осуществляемое с помощью реальных приборов, содержащих диспергирующие элементы (призмы, дифракционные решетки и т.д.).

Входящая в выражение (2) медленно изменяющаяся функция Ew(r) носит название амплитуды световой волны. Усредненный по времени квадрат амплитуды называют интенсивностью:

(4).

Интенсивность пропорциональна переносимой электромагнитным полем энергии и тесно связана с ощущением яркости света (биологи утверждают, что наше физиологическое ощущение пропорционально логарифму от интенсивности).

Входящая в выражение (2) функция S(r) определяет форму волнового фронта, представляющего собой множество точек постоянной фазы:

(5).

С течением времени входящее в выражение (5) слагаемое wt возрастает, что неизбежно влечет за собой изменение функции и, следовательно, ее аргумента — вектора r=r(t), определяющих пространственное положение точки фронта волны. Таким образом на языке математики описывается распространение волн.

Подобно тому, как произвольным образом изменяющееся во времени поле может быть представлено суперпозицией (3) монохроматических, каждая из временных гармоник Ew(r,t) представима суперпозицией гармонических функций координат:

(6).

Входящие в сумму (6) слагаемые как раз и носят название плоских монохроматических волн, о которых говорилось выше. Подстановка выражения (6) в систему уравнений Максвелла приводит к приводившемуся без доказательства соотношению (1). Помимо амплитуды, частоты и волнового вектора каждая плоская волна характеризуется начальной фазой, несущей информацию о расстоянии от источника волны до начала координат.