Спиновые состояния электрона

 

3.1. Опыт Штерна-Герлаха

Классическое выражения для силы, действующей на магнитный диполь в неоднородном поле, может быть получено из известного выражения для его энергии во внешнем поле (3.1). Очевидно, что в случае пропускания пучка неориентированных классических диполей через неоднородное магнитное поле с сонаправленным ему градиентом диполи должны испытывать воздействие силы, пропорциональной величине проекции их магнитного момента на направление поля. В случае классических объектов с одинаковым по величине магнитным моментом следует ожидать расфокусировки пучка в направлении градиента поля, вызванной различием вz-проекциях . При пропускании пучка атомов первой группы и сферически-симметричном s-состоянии через такое поле наблюдалось его расщепление на две дискретные составляющие (опыт Штерна-Герлаха). Указанный эффект был интерпретирован как свидетельство наличия у электрона собственного магнитного момента, проекция которого на направление поля (и его градиента) может принимать лишь два значения (3.2). Существование этого магнитного момента было отнесено за счет специфического свойства элементарных частиц, называемого спином.

Попытки классической интерпретации спина как эффекта, вызванного собственным вращением частицы оказались несостоятельными. Язык квантовой механики допускает непротиворечивое математическое описание указанного свойства.

В соответствии с классической аналогией удобно считать, что спин электронов в отклонившихся в одном направлении атомах направлен вверх, в другом — вниз. Соответствующие квантовомеханические состояния удобно обозначать как|+> и |->. Опыт показывает, что отфильтрованный пучок атомов в одном из двух состояний не испытывает расщепления в приборе-анализаторе, ориентированном в пространстве так же, как и первичный фильтр. Т.о. введенные состояния ортогональны (3.3). Если же анализатор повернуть в пространстве на какой-либо угол (например, на 900 вокруг направления распространения пучка), то, вопреки классическим ожиданиям, отфильтрованный пучок вновь расщепится на два в направлении, определяемом градиентом поля. Этот результат позволяет утверждать, что проекция спина на любую ось может принимать лишь два дискретных значения ( + 1/2). Более правильным является утверждение о том, что введенный набор спиновых состояний (3.3) является полным, т. е. допускает разложение любого спинового состояния по двумерному базису (3.4).

Любой поворот в пространстве системы координат (или поворот пространства относительно неподвижной системы) изменяет спиновое состояние электрона. В силу двухмерности новое спиновое состояние может быть разложено по двум состояниям с определенными значениями проекции спина. Квадраты модулей коэффициентов разложения (амплитуд) дают вероятность найти электрон в одном из базисных состояний после поворота (3.5). Представляется полезным получить формулы для тих вероятностей в случае произвольных поворотов.

 

(3.1)

Энергия магнитного диполя во внешнем магнитном поле и сила, действующая на него в неоднородном поле.

(3.2)

Спиновый магнитный момент электрона и сила, действующая на электрон в неоднородном магнитном поле.

(3.3)

Базисные спиновые состояния.

(3.4)

Разложение состояния с произвольным спином по базисным.

(3.5)

Вероятности «превращения» состояния |+> в |+> и |-> после поворота

 

3.2. Повороты в пространстве

В качестве индекса у оператора поворота будем писать название оси, вокруг которой он происходит. Положительному углу поворота будем сопоставлять вращение в направлении, задаваемом правилом правого винта относительно оси поворота.

Любой поворот в трехмерном пространстве может быть сведен к трем, задаваемым углами Эйлера (3.6). Непосредственной проверкой легко установить, что произвольный поворот вокруг оси x сводится к трем поворотам (вокругy на 900, вокругz на указанный угол и вновь вокругy в обратном направлении) (3.7). Т.о. произвольный поворот сводится к совокупности вращений вокруг осиz и поворотов на 900 вокругy (3.8). Для решения поставленной задачи достаточно найти законы преобразования спиновых состояний для указанных «простых» поворотов.

 

(3.6)

Произвольный поворот на углы Эйлера.

(3.7)

Полезное тождество для поворотов в пространстве

(3.8)

Разложение произвольного поворота на «простые» составляющие.

 

3.3. Преобразование спиновых состояний при вращении вокруг оси z.

При вращении вокруг оси z сама ось не изменяет направления в пространстве. В результате вероятность того, что каждое базисное состояние после поворота перейдет в себя равна 1. Это означает, что поворот вокруг оси z не может приводить к изменениям базисных состояний большим, чем домножение на фазовый множитель (3.9). В силу инвариантности квантовомеханического описания относительно домножения всех состояний на одинаковый фазовый множитель, без потери общности можно считать, что введенные набеги фаз для двух базисных состояний не более, чем противоположны по знаку (3.10). Мультипликативность поворотов вокруг одной оси приводит к требованию линейности зависимости фазового множителя от величины угла поворота (3.11).

Для правильного выбора значения m достаточно учесть, что поворот на 2p вообще не должен приводить к каким-либо изменения состояний. Выбор значения m=+1 не является правильным, поскольку в этом случае при повороте на угол p оба базисных состояния домножаются на один и тот же множитель (-1), который может быть опущен в силу инвариантности относительно фазового сдвига. Т.о. истинное значения множителяm равно 1/2.Из-заэтого свойства (3.12) кватовомеханическим объектам с двумя внутренними состояниями приписывается значение спина 1/2.

Спиновые состояния электронов иногда удобно представлять в виде двухкомпонентных столбцов. В таком представлении оператор поворота может быть записан в виде матрицы (3.13).

 

(3.9)

Изменение базисных состояний при вращении вокруг оси z.

(3.10)

Выбор фаз для описания действия оператора поворота.

(3.11)

Явный вид зависимости фазового множителя от величины угла поворота.

(3.12)

Действие оператора поворота вокруг z на частицу со спином 1/2.

(3.13)

Представление спинорных состояний в виде столбцов

 

3.4. Повороты вокруг оси y

Повороты вокруг оси y на p меняют спиновые состояния на противоположные им (3.14).Из-затого, что поворот на 2p (вокруг любой оси!) домножает базисное состояние на -1, для фазовых множителей обязано выполняться соотношение (3.15).Из-затого, что направление оси y (в отличие от z !) физически не определено, всегда можно считать его таким, чтобы один из фазовых множителей отсутствовал (3.16).

По известной матрице поворота на p легко найти матрицу поворота на вдвое меньший угол (3.17).

 

(3.14)

Преобразование спинорного базиса при вращении вокруг оси y на 1800.

(3.15)

Связь фазовых множителей.

(3.16)

Преобразование базисных состояний при вращении вокруг оси y на 1800.

(3.17)

Преобразование базисных состояний при вращении вокруг оси y на 900.

 

3.5. Преобразование спинорных состояний при произвольных вращениях

Поиск матрицы коэффициентов преобразования спинорного базиса при произвольных вращениях сводится к простому перемножению матриц 2×2. Так, матрица поворота на произвольный угол вокруг оси x имеет вид (3.18), а матрица, соответствующая повороту на углы Эйлера — (3.19). Разумеется, определитель каждой из матрицы вращений равен 1. 

(3.18)

Преобразование спиноров при вращениях вокруг оси x.

(3.19)

Преобразование спиноров при вращениях на углы Эйлера..

 

Задача

Электрон вылетает из фильтра Штерна-Герлаха в состоянии, соответствующем ориентации спина вдоль положительного направления оси z. Какова вероятность того, что в результате измерений окажется, что спин ориентирован вдоль направления, задаваемого в сферических координатах углами qи j ?