Квантование электромагнитного поля

 

7.1. Моды закрытого резонатора

Электромагнитное поле внутри закрытого прямоугольного резонатора размерами Lx? Ly? Lzдолжно удовлетворять однородному уравнению Д’Аламбера (7.1), из которого в важнейшем частном случае монохроматических полей с очевидностью следует уравнений Геймгольца для координатной зависимости для амплитуды поля. Последнее уравнение решается стандартным методом разделения переменных (7.3), который с учетом граничных условий на зеркалах (равенство нулю тангенциальной компоненты электрического поля) приводит к известному выражению для собственных мод поперечного электромагнитного поля внутри зеркального резонатора (7.4). Как видно, каждая из трех пространственных проекций волнового вектора может принимать лишь дискретный набор значений. Каждая из разрешенных мод поля в закрытом резонаторе имеет свою частоту (7.5). При этом частотный (и вместе с ним энергетический) спектр электромагнитного поля внутри закрытого резонатора так же оказывается дискретным. Т.о. характерное для аппарата квантовой механики свойство квантования в случае электромагнитного излучения возникает уже на классическом уровне описания на языке уравнений Максвелла. В случае наличия дополнительной симметрии у резонатора (например, равенства его размеров вдоль двух координатных осей) происходит вырождение частотного спектра (одинаковой частоте могут соответствовать различные состояния поля), что так же весьма характерно для квантовомеханических систем.

 

(7.1)

Однородное уравнение Д’Аламбера для электромагнитного поля точек внутри пустого прямоугольного зеркального резонатора

(7.2)

Уравнение Геймгольца для монохроматического поля в вакууме.

(7.3)

Пробное решение уравнения (7.2), приводящее к разделению переменных.

(7.4)

Собственные моды электромагнитного поля в закрытом прямоугольном резонаторе.

(7.5)

Дискретный частотный спектр электромагнитного поля в прямоугольном резонаторе.

 

7.2. Разложение электромагнитного поля на осцилляторы

Введение скалярного и векторного потенциалов электромагнитного поля (в калибровке Лоренца) приводит к уравнению для них (7.6), аналогичному уравнению для электрического поля (7.1). Произвольное решение уравнения для векторного потенциала внутри резонатора в соответствие с теоремой Фурье может быть представлено как суперпозиция решений, изменяющихся в пространстве по гармоническому закону — плоских волн (7.7), амплитуды которых удовлетворяют классическому уравнению для гармонического осциллятора (7.8). Частота изменения во времени амплитуды каждой моды однозначно связана с величиной волнового вектора.

По понятным причинам представление классического электромагнитного поля в резонаторе в виде (7.7—7.8) называют разложением на полевые осцилляторы. Соответствующие такому разложению выражения для электрической магнитной составляющих легко получить, используя их связь с векторным потенциалом (7.6). Отдельно взятые слагаемое в разложении поля на осцилляторы принято называть модами электромагнитного излучения. Векторные амплитуды разложения поля на осцилляторы в свою очередь могут быть разложены по двум взаимно ортогональным (и, разумеется, ортогональным соответствующему волновому вектору) направлениям поляризации (7.9). Т.о. каждая мода электромагнитного излучения однозначно задается волновым вектором и состоянием поляризации. Величина амплитуды электромагнитного поля в каждой моде характеризует «степень ее наполнения излучением». В дальнейшем будет показано, что квадрат этой величины пропорционален числу фотонов, имеющихся в данной моде. Для более краткой характеристики мод излучения удобно ввести единый мультииндекс, обозначающий совокупность волнового вектора и номера состояния поляризации.

 

(7.6)

 

Однородное уравнение Д’Аламбера для векторного потенциала.

 

(7.7)

Представление векторного потенциала поля в виде плоских волн.

(7.8)

Уравнение для зависимости от времени амплитуд векторного потенциала.

 

(7.9)

Разложение амплитуд поля по ортогональным поляризациям.

 

7.3. Плотность числа состояний электромагнитного поля

Каждая мода или состояние электромагнитного излучения отличается волновым вектором и его поляризацией. Поскольку частота (и пропорциональная ей энергия) излучения в вакууме определяется только величиной вектора k и не зависит от поляризации, состояния электромагнитного поля оказываются сильно вырожденными. Имеет смысл введение понятия степени такого вырождения, т. е. числа состояний электромагнитного поля, характеризующихся заданной частотой (энергией). Поскольку допустимые величины каждой из трех пространственных проекций волнового вектора представляют набор дискретных значений (7.4), на каждую моду излучения в резонаторе приходится фиксированный объем ячейки импульсного пространства. Объем того же импульсного пространства, приходящийся излучение, частоты которого лежат в заданном малом интервале значений, оказывается равным объему лежащей в области mx >0 части сферического слоя, радиус которого задается соответствующей выбранной частоте длиной волнового вектора. В результате число состояний электромагнитного поля с частотами, лежащими в заданном интервале, определяется отношением объема сферического слоя к объему, приходящемуся на одну моду (7.11). Полученный результат удваивается из-за необходимости учета двух возможных поляризаций для каждой из мод резонатора. Поскольку вычисленное число состояний оказалось пропорциональным объему закрытого резонатора, оказывается возможность ввести понятие плотности числа состояний электромагнитного поля с частотами, лежащими в заданном интервале (7.12). Эта плотность не зависит от размеров резонатора и, следовательно, может быть также приписана излучению в свободном пространстве. По существу плотность числа состояний характеризует степень вырождения монохроматического электромагнитного поля по направлениям волнового вектора и состояниям поляризации.

 

(7.10)

Объем ячейки импульсного пространства, приходящейся на одну моду излучения в резонаторе.

 

 

(7.11)

Число состояний электромагнитного поля, соответствующее заданному интервалу частот излучения и положительным значениям mx .

(7.12)

Плотность числа состояний монохроматического неполяризованного электромагнитного поля.

 

7.4. Энергия электромагнитного поля

Объемная плотность энергии электромагнитного поля складывается из объемных плотностей энергии его электрической и магнитной составляющих (7.13). Подстановка в выражение для полной энергии поля в резонаторе (7.14) соответствующих разложению на осцилляторы выражений для электрического и магнитного полей (7.15 — 7.16) позволяет записать полную энергию поля в виде суммы независимых друг от друга слагаемых, отвечающих вкладам в энергию от каждой моды (7.17). В свою очередь, каждое из соответствующих модам независимых слагаемых может быть записано в форме, совпадающей с гамильтонианом гармонического осциллятора (7.18). В результате описанной процедуры вычисления энергии естественным образом возникают канонически сопряженные переменные: обобщенные координаты и импульсы для каждой моды (7.19). Амплитуды для векторного потенциала легко выражаются через новые обобщенные координаты (7.20).

 

 

(7.13)

Плотность энергии электромагнитного поля в случае комплексной формы записи его амплитуд.

(7.14)

 

(7.15)

Квадрат напряженности электрического поля в представлении разложения на осцилляторы

 

(7.16)

Квадрат напряженности магнитного поля в представлении разложения на осцилляторы

(7.17)

Энергия поля в резонаторе представима суммой энергии каждой его моды.

 

 

 

 

(7.18)

Представление энергии каждой моды в виде гамильтониана гармонического осциллятора.

(7.19)

Обобщенные координата и импульс для каждой моды резонатора

(7.20)

Выражение для амплитуд векторного потенциала через канонически сопряженные координаты и импульсы.

 

7.5. Квантование полевого осциллятора

Техника квантования классического осциллятора хорошо известна в нерелятивистской квантовой механике. Поскольку релятивистски инвариантные уравнения Максвелла привели к выражению, формально совпадающим с известным выражением для энергии классического осциллятора, представляется целесообразным применить к нему аналогичную процедуру квантования с целью получения квантовомеханического описания ультрарелятивистского объекта — электромагнитного излучения.

Переход к квантовомеханическому описанию осуществляется заменой канонически сопряженных переменных соответствующими некоммутирующими операторами (7.21). Дифференцирование по времени функции Гамильтона энергии приводит к операторному аналогу уравнения движения для полевого осциллятора (7.22). Применение этого уравнения к матричным элементам для стационарных состояний с учетом правила вычисления матричного элемента от производной оператора (7.23) приводит к соотношению, показывающему, что матричные элементы оператора обобщенной координаты полевого осциллятора могут отличаться от нуля только в случае, если энергии исходного и конечного состояний отличаются на величину w (7.24). Поскольку потенциальная энергия гармонического осциллятора неотрицательна, он должен иметь состояние, обладающее минимальной полной энергией. Такому состояние принято приписывать нулевой номер. Все остальные состояния, согласно (7.24), отделены от наинизшего энергетическими зазорами, кратными w h . Логично их занумеровать в порядке возрастания энергии. При таком способе нумерации матричные элементы оператора координаты оказываются отличными от нуля только между парами состояний с соседними номерами.

Переходя в правиле коммутации (7.21) к диагональным матричным элементам, легко получить рекуррентные соотношения для матричных элементов оператора координаты (7.24). Последовательное применение полученного соотношения позволяет вычислить все матричные элементы (7.25).

 

 

 

(7.21)

Правило коммутации операторов обобщенных координат и импульсов в каждой моде.

 

(7.22)

Уравнение движения для полевого осциллятора.

(7.23)

Правило вычисления матричного элемента от производной по времени оператора.

(7.24)

Условия неравенства нулю матричного элемента оператора обобщенной координаты.

(7.25)

Рекуррентное соотношение для матричных элементов оператора обобщенной координаты.

(7.26)

Матричные элементы оператора обобщенной координаты.

 

7.6. Операторы рождения и уничтожения

По аналогии с выражениями для амплитуд скалярного потенциала (7.20) могут быть введены операторы рождения и уничтожения (7.27). Их матричные элементы легко вычисляются, исходя из найденных матричных элементов операторов обобщенной координаты и импульса (7.28). Название операторов вполне оправдано свойствами их матричных элментов.

Воспользовавшись аналогией с классическими выражениями для векторного потенциала и полей Е и В (7.7), нетрудно построить соответствующие операторы поля (7.29).

 

(7.27)

Операторы рождения и уничтожения.

(7.28)

Матричные элементы операторов рождения и уничтожения.

(7.29)

Оператор векторного потенциала

(7.30)

Оператор электрического поля