Естественная ширина спектральной линии

 

11.1. Классическая интерпретация

В рамках классической модели квазиупругого электрона (атом Томсона) дипольный момент излучающего атома совершает затухающие во времени гармонические колебания (10.1), скорость затухания которых определятся излучаемой мощностью. В соответствии с классической теорией излучения, обусловленное колебаниями электронного облака электрическое поле так же совершает затухающие во времени колебания (10.2). Спектр таких колебаний представляет собой Лоренцев контур, полуширина которого определяется константой затухания. Поскольку классическое выражение для скорости затухания зависит только от квадрата частоты и фундаментальных физических констант, в рамках классического подхода естественная ширина спектральных линий всех атома на заданной частоте должна быть одинаковой, что не соответствует экспериментальным результатам.

 

(10.1)

Дипольный момент излучающего атома Томсона

(10.2)

Цуг, излучаемый классическим атомом Томсона

(10.3)

Спектр цуга затухающих колебаний.

 

11.2. Квазистационарные состояния

Выражение для амплитуды перехода в первом порядке теории возмущений (10.4) было получено в предположении стремления к нулю всех амплитуд за исключением амплитуды нахождения системы в начальном состоянии. После получения первого приближения теории возмущений представляется разумным подставить в общее выражение для амплитуды перехода уточненный вид волновой функции начального (верхнего) состояния (10.5), к которому подмешиваются«конечные состояния с амплитудами, вычисленными в первом приближении. Проблема подстановки такой уточненной волновой функции в выражение для вероятности перехода состоит в том, что это выражение получалось в предположении стационарности исходного состояния, т. е. его зависимости от времени по гармоническому закону. Волновая же функция (10.5) этим свойством не обладает. Попытаемся так переопределить энергию исходного состояния (10.6), чтобы его волновая функция могла (хотя бы формально) считаться стационарной и удовлетворять стационарному уравнению Шредингера (10.7). Требуемые поправки энергии легко найти, приравнивая слагаемые одного порядка малости. Первая поправка отсутствует в силу ортогональности состояний нулевого приближения и правила отбора по четности для матричных элементов оператора дипольного момента (10.8). Вторая поправка (10.9) дает искомое выражение. В конкретном случае двухуровневого атома суммирование сводится к взятию интеграла по всевозможным состояниям рожденного фотона (энергиям, направлениям излучения, поляризациям) (10.10).

Подстановка (10.4) в (10.10) приводит к интегралу, вычисляемому по вычетам, полюс подынтегрального выражения которого лежит на контуре обхода (10.11). В результате оказывается, что поправка к энергии является чисто комплексной и с точностью до численных множителей совпадает с выражением для вероятности перехода в единицу времени.

 

(10.4)

Амплитуда перехода в первом порядке теории возмущений.

(10.5)

Уточненное выражение для волновой функции исходного состояния.

(10.6)

Формальная запись уточненной функции в виде волновой функции стационароного состояния.

(10.7)

Уравнение Шредингера для уточненной волновой функции

(10.8)

Поправка к энергии первого порядка

(10.9)

Поправка к энергии второго порядка

(10.10)

Конкретный вид поправки при решении задачи в двухуровневом приближении.

(10.11)

Окончательный расчет поправки к энергии.

 

11.3. Состояния с комплексной энергией (квазистационарные состояния).

Естественным обобщением полученного в двухуровневом приближении выражения (10.11) для поправки энергии является его замена на суму по сем конечным атомным уровням, на которые возможен радиационный переход (10.12). Получившаяся комплексное выражение для энергии имеет простой физический смысл: если система обладает способностью к спонтанному распаду из исходного состояния, то вероятность ее обнаружить в этом состоянии спадает во времени по экспоненциальному закону (10.13). Именно так и должен вести себя система при спонтанном распаде. Разумеется, нижнее состояние радиационного перехода так же является квазистационарным, если имеются другие атомные уровни, на которые возможен распад этого состояния.

 

(10.12)

Энергия квазистационарного состояния.

(10.13)

Спонтанный распад квазистационарного состояния

 

11.4. Естественное уширение спектральных линий

Подстановка квазистационарных состояний в выражение для амплитуды перехода (10.4) приводит к выражению (10.14) . Его интегрирование уже не приводит к появлению дельта-функции (10.15), что означает излучение света со спектром конечной ширины (10.16).

 

(10.15)

Уточненное уравнение для амплитуды перехода между двумя квазистационарными состояниями

(10.16)

Амплитуда перехода с излучением фотонов между квазистационарными состояниями.

(10.17)

Контур спектральной линии