Тонкая структура уровней атома водорода

 

14.1. Переход в уравнении Дирака к шредингеровской волновой функции

Для расчета релятивистских поправок к энергиям уровней атома водорода, рассчитанных в рамках классической квантовой механики, удобно использовать приближенную форму уравнения Дирака, получающуюся в результате разложения релятивистски инвариантного уравнения по степеням 1/с.

Обратный переход от четырехкомпонентной волновой функции к «Шредингеровско подобной» может быть осуществлен за счет перенормировки компоненты-столбца Y +, в ходе которой необходимо сохранить только слагаемые, дающие в окончательном ответе слагаемые, порядок которых не меньше, чем 1/c2. Для этого в исходном уравнении Дирака (13.27) должны быть опущены все слагаемые, содержащие векторный потенциал (14.1). Для выделения главной части волновой функции удобно исключить энергию покоя из фазового множителя одной из компонент волновой функции (14.2). При соответствующем выборе фазового множителя отвечающая антисимметричной линейной комбинации волновая функция оказывается существенно меньшей, чем симметричная комбинация и при этом весьма просто выражается через нее (14.3).

Малость антисимметричной компоненты позволяет рассматривать только симметричную часть волновой функции, перенормировав ее таким образом, чтобы при этом с выбранной точностью был учтен вклад антисимметричной части (14.4). В результате оказывается, что в качестве решения уравнения Дирака можно использовать волновую функцию «стандартного Шрегиндеровского вида».

(14.1)

Приближенная запись уравнений Дирака, в которой опущены слагаемые с векторным потенциалом.

(14.2)

Фазовое преобразование дираковских волновых функций.

(14.3)

Приближенное выражение для малой антисимметричной добавки.

(14.4)

Условие нормировки дираковской волновой функции и ее приближенного разложения..

(14.5)

Окончательное правило перенормировки дираковских волновых функций для представления их в шредингеровской форме.

 

14.2. Разложение уравнения Дирака по степеням a =1/с

Уравнение Дирака может быть представлено в форме, сходной со стандартным уравнением Шредингера, если все входящие в систему (14.2) слагаемые разложить по степеням a (14.6—14.7) и перейти в соответствии с ранее полученным соотношением (14.5) к шредингеровской волновой функции (14.8 — 14.9). Использование достаточно простых операторных тождеств (14.10) позволяет получить окончательное выражение для релятивистского гамильтониана для электрона в атоме.(14.11). Послднее отличается от классического тремя слагаемыми, выяснению физического смысла которых посвящен следующий пункт.

 

(14.6)

Приближенное представление антисимметричной компоненты волновой функции.

(14.7)

Результат подстановки (14.6) в уравнение для симметричной компоненты.

(14.8)

Результат замены симметричной компоненты волновой функции на шредингеровскую в соответствии с соотношением (14.5).

(14.9)

Следствие уравнения (14.8).

(14.10)

Операторные тождества.

(14.11)

Окончательное выражение для релятивистского гамильтониана.

 

14.3. Физический смысл дополнительных слагаемых

Выяснение «физического смысла» выражений, возникающих как следствие носящего наиболее фундаментальный характер уравнения Дирака,по-видимому, состоит в получении их классических аналогов. Так первая поправка к оператору Гамильтона (14.11) соответствует учету наличия зависимости релятивистской массы частицы от скорости, о чем свидетельствует полное сходство оператора с третьим слагаемым разложения в ряд Тейлора классического выражения для релятивистской энергии (14.12).

Для выяснения физического смысла второго поправочного слагаемого достаточно рассчитать классическое выражение для добавки к энергии атома за счет взаимодействия обусловленного спином магнитного момента электрона с магнитным полем, создаваемым движущимся относительно электрона положительно заряженным ядром (14.13). Указанное взаимодействие носит название спин-орбитального и играет доминирующую роль в формировании тонкой структуры спектральных линий. Получаемое из классических соображений выражение оказывается полностью соответствующим добавке к оператору Гамильтона (14.14), если в качестве гиромагнитного отношения в случае спина использовать классическое выражение, получаемое для магнитного момента равномерно заряженного по объему вращающегося сферического тела. Следует повторно напомнить о том, что в задаче о поведении электрона во внешнем магнитном поле спиновое гиромагнитное отношение оказывалось в два раза большим по сравнению с классическим выражением.

Что же касается последнего слагаемого, то оно в соответствии с уравнением Пуассона оказывается отличным от нуля только дляs-состоянийэлектрона в атоме. Это слагаемое компенсирует расходимости, возникающие в выражении для спин-орбитального взаимодействия в случае его применения к вычислению энергий s-состояний атома.

(14.12)

Релятивистское выражение для кинетической энергии тела, «объясняющее» смысл первой поправки к классическому гамильтониану.

 

(14.13)

Классическое выражение для добавочной энергии взаимодействия спинового магнитного момента электрона с магнитным полем, создаваемым эффективным движением ядра.

(14.14)

Оператор поправки к энергии за счет спин-орбитального взаимодействия.

 

14.4. Тонкая структура уровней атома водорода.

В случае атома водорода оба поправочных эффекта (зависимость релятивистской массы от скорости и спин-орбитальное взаимодействие) имеют одинаковый порядок малости и, следовательно, должны рассматриваться одновременно.

Для вычисления матричного элемента четвертой степени оператора импульса могут быть использованы волновые функции электрона в атоме водорода, полученные в нерелятивистском приближении (14.15). Входящие в выражение для поправки матричные элементы от оператора потенциальной энергии (14.16) могу быть вычислены в явном виде с использованием аналитических выражений для волновых функций электрона в атоме водорода (14.17). Результирующая поправка к энергии (14.18) оказывается зависящей от главного и орбитального квантовых чисел.

Матричные элементы оператора спин-орбитального взаимодействия на ранее построенных волновых функциях невзаимодействующих орбитального и спинового моментов имеют недиагональные элементы, возникновение которых обусловлено недиагональностью матриц входящих в выражение для них x- и y- проекций операторов орбитального и спинового моментов (14.19). Т.о. состояния с определенными значениями орбитального и спинового моментов электрона из-за спин-орбитального взаимодействия перестают сохраняться во времени.

Для построения сохраняющихся во времени состояний следует с помощью аппарата3j-символов(14.20) перейти от состояний с определенными орбитальным и спиновым моментами и их проекциями к новым состояниям с определенными суммарным моментом и егоz-проекцией. Для таких состояний матрица оператора спин-орбитального взаимодействия оказывается диагональной, в чем легко убедиться, представив входящее в оператор скалярное произведение орбитального и спинового момента через квадраты операторов моментов (14.21). Т.о. на состояниях нового базиса оператор спин-орбитального взаимодействия имеет только диагональные элементы, которые в случае атома водорода вычисляются до конца в аналитическом виде (14.22).

В новом базисе, по существу представляющем линейную комбинацию состояний старого базиса, матрица оператора релятивистской поправки сохраняется диагональной. Т.о. включение в классический гамильтониан обоих поправочных релятивистских слагаемых приводит к тому, что состояния с определенными орбитальным и спиновым моментами перестают сохраняться во времени, а состояние с определенным полным моментом и его z-проекциейоказывается стационарным. В соответствии с общим правилом сложения моментов орбитальный момент может отличаться от полного лишь на + 1/2. Непосредственные вычисления показывают, что в каждом из двух упомянутых случаев для поправки к энергии за счет релятивистских и спиновых эффектов получается одно и тоже выражение (14.33), не зависящее от квантового числа l. Т.о. в случае атома водорода имеет место специфическое вырождение уровней тонкой структуры по орбитальному квантовому числу. Это вырождение снимается более тонким эффектом — лэмбовским сдвигом..

(14.15)

Волновые функции для нерелятивистского электрона в атоме водорода.

(14.16)

Вычисление матричного элемента для поправки к энергиииз-зарелятивистской зависимости массы от скорости.

(14.17)

Матричные элементы от функций оператора потенциальной энергии.

(14.18)

Поправка к энергии, обусловленная зависимостью релятивистской массы от скорости.

(14.19)

Разложение оператора спин-орбитального взаимодействия по проекциям операторов орбитального и спинового моментов на координатные оси.

(14.20)

Переход к состояниям с определенным суммарным моментом и егоz-проекцтей.

(14.21)

Выражение скалярного произведения операторов орбитального и спинового моментов через квадраты операторов моментов.

(14.22)

Явные выражения для диагональных элементов оператора спин-орбитального взаимодействия в атоме водорода.

(14.23)

Тонкая структура термов в атоме водорода.