СПбГУ

Санкт-Петербургский государственный университет

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

                                                   

Ю.М. Яневич: Задачи приема сигналов и определения их параметров на фоне шумов

 

Содержание:

Введение

1. Характеристики и свойства случайного процесса

  • 1.1 Определение моментов
  • 1.2 Стационарность случайного процесса
  • 1.3 Эргодичность случайного процесса
  • 1.4 Свойства корреляционных функций

2. Спектральное описание случайных процессов

3. Понятие оптимальной фильтрации

  • 3.1 Оптимальная фильтрация одиночного сигнала
  • 3.2 Оценка отношения сигнал / шум при оптимальном фильтре
  • 3.3 Определение оптимальной полосы фильтра нижних частот
    • 3.3.1 Прохождение полезного сигнала через однозвенный RC фильтр нижних частот
    • 3.3.2 Прохождение белого шума через фильтр нижних частот
  • 3.4 Определение оптимальной полосы многозвенного фильтра нижних частот

4. Оптимальная фильтрация периодического сигнала

  • 4.1 Выделение периодического сигнала из аддитивной его смеси с шумом , когда его период неизвестен
  • 4.2 Выделение периодического сигнала из шума, когда его период известен
  • 4.3 Аналоговый вариант корреляционного фильтра
  • 4.4 Супергетеродинный приёмник — аналоговый корреляционный фильтр
  • 4.5. Оптимальный приём сложного периодического сигнала
    • 4.5.1 Периодическая последовательность прямоугольных импульсов
    • 4.5.2. Оптимальный фильтр для периодической последовательности радиоимпульсов
    • 4.5.3. Оценка возможного выигрыша в отношении сигнал / шум при дискретной записи данных

5. Оценка параметров сигнала

  • 5.1 Алгоритм разделения частично наложенных во времени импульсов
  • 5.2 Определение параметров частично совмещенных радиоимпульсов

6. Определение характеристик узкополосного сигнала методом оценки параметров плотности распределения амплитуды

  • 6.1 Метод моментов
  • 6.2 Метод максимального правдоподобия
  • 6.3 Практические результаты

7. Статистические критерии обнаружения сигналов в шумах

Приложение 1. Свойства корреляционных функций

Приложение 2. Связь между корреляционными функциями и спектральными плотностями на входе и выходе линейной системы

Приложение 3. Оптимальный линейный фильтр при белом шуме

Приложение 4. Оценка мощности шума, обусловленного конечным временем интегрирования

Литература

Литература

 

  1. Солодовников В.А. Введение в статистическую динамику систем автоматического управления. М.,1952 .
  2. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М., 1986.
  3. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1964.
  4. Конторович М.И. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях. М.,1975.
  5. Яневич Ю.М. , Павлейно М.А. Активные и цифровые фильтры. СПб.1999.
  6. Левин Б. Р. Теория случайных процессов и её применение в радиотехнике. М. , 1957.
  7. Пылаев А.А. , Яневич Ю.М. \ Вестник СПбГУ. Сер.4. Физ.Хим. вып.2 (N15). 2002.
  8. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М., 1958.
  9. Яневич Ю.М., Павлейно М.А. Методы анализа линейных систем.СПб 1996.
  10. Смирнов В.И. Курс высшей математики.том IV. М., 1952.
  11. Лезин Ю.С. Оптимальные фильтры и накопители импульсных сигналов.М., 1969.
  12. Хинчин А.Я. \ Успехи математических наукю вып.5. 1938.
  13. Котельников В.А. Теория потенциальной помехоустойчивости. Госэнергоиздат. 1956.

Приложение 4. Оценка мощности шума, обусловленного конечным временем интегрирования

 

В разделе 4.2 был рассмотрен вариант алгоритма выделения гармонического сигнала известной частоты из шума, использующий вычисление взаимокорреляционной функции.. Очевидно, что практически реально осуществить интегрирование при вычислении лишь по конечному интервалу времени. Реально это приводит к появлению погрешности,

которая играет роль шума. В формуле (4.8) раздела 4.2 , описывающей функциюсоответствующий *шумовой* член (третий):

(п.4.1)

Напомним, что опорный сигнал шум. Для оценки величины этого шума используем соотношение Хинчина [12] :

(п.4.2).

Здесь корреляционная функция случайного процесса , детерминированная функция, в данном случае опорный сигнал. Шум будем считать *белым* со спектральной плотностью мощности .Кроме того, будем считать, что на входе коррелятора включен низкочастотный фильтр с коэффициентом передачи

(п.4.3),

ограничивающий мощность шума.При таком фильтре и *белом* шуме корреляционная функция случайного процесса была найдена ранее (см. (4.3) раздела (4.2)):

(п.4.4).

Подставим функции данного примера под двойной интеграл формулы (п.4.2),

Запишем искомую мощность шума в виде:

(п.4.5).

Вычислив этот двойной интеграл, получим величину:

(п.4.6).

Учтя выражение (п.4.2) в качестве приближенного значения величины J (п.4.6)

ограничимся только членом наиболее медленно убывающем при росте T. 

В этом приближении мощность шума на выходе коррелятора будет такой:

(п.4.7),

и соответственно среднеквадратичное значение напряжения шума (его*амплитуда*) :

(п.4.8).

Напряжение же полезного сигнала , в данном примере это постоянная составляющая, будет иметь величину (см. раздел 4.2 формула (4.8))

(п.4.9).

Здесь учтено ослабление сигнала НЧ фильтром. Выбором фазы опорного сигнала можно обеспечить .Тогда искомое отношение сигнал /шум на выходе коррелятора будет равно:

(п.4.10).

Таким образом, *амплитуда* шума (средне квадратичная величина напряжения шума , появляющаяся из-законечного времени интегрирования) на выходе коррелятора будет убывать как . Соответственно, отношение сигнал/шум будет расти пропорционально .

Заметим, кстати, что величина играет роль полосы , ограничивающей спектр мощности шума.

Приложение 3. Оптимальный линейный фильтр при белом шуме [3]

 

При обнаружении сигнала на фоне шума наибольшее распространение получил критерий максимума отношения сигнал / помеха на выходе фильтра. Для этого требуется синтезировать фильтр, обеспечивающий в заданный момент времени получение наибольшего возможного отношения пикового значения сигнала к среднеквадратичному значению шума.Сохранение формы сигнала не требуется, так как для обнаружения в шумах форма сигнала значения не имеет.

Будем считать, что сигнал детерминированный , известны его временная функция f(t) и, следовательно, спектр F(). Шум будем считать стационарным процессом с равномерным энергетическим спетром, то есть шум будем считать «белым» со спектральной плотностью мощности .

Задача создания такого оптимального фильтра решается в два этапа :

А) Определение его комплексного коэффициента передачи

Б) Определение структуры (схемы) фильтра и его параметров.

Коэффициент может быть найден для любого физически реализуемого сигнала. Второй этап более сложен и может не иметь решения. Необходимо оценить условия физической осуществимости искомого оптимального фильтра.

Перейдём к конкретному решению первого этапа — определению оптимального

коэффициента передачи фильтра в указанном выше смысле для заданного сигнала и при «белом» шуме. Представив сигнал в виде интеграла Фурье

(п.3.1),

( где фазовая характеристика спектра сигнала)., а комплексный коэффициент передачи фильтра в виде

Запишем сигнал на выходе фильтра:

(п.3.2)

Пусть пик сигнала на выходе фильтра получается в момент (пока не известный).

(п.3.3)

Теперь оценим мощность шума на выходе этого фильтра.

(п.3.4).

Эффективное, среднеквадратичное напряжение шума равно .

Следовательно, отношение пикового значения сигнала к напряжению шума

(п.3.5).

Далее задача заключается в нахождении коэффициента передачи фильтра,

обеспечивающего максимум правой части выражения (3.5). Воспользуемся неравенством Шварца. Для числителя выражения (3.5) можно записать:

(п.3.6)

Используя (3.6) , неравенство (3.5) можно записать так :

(п.3.7)

Отсюда видно, что отношение сигнал/шум достигает максимума, когда неравенство (3.7) обращается в равенство. Поскольку правая часть не зависит от , для этого необходимо выполнение двух условий (см. (3.3)):

1) чтобы . Откуда

(п.3.8).

2) чтобы , где А постоянный коэффициент. (п.3.9).

Отсюда следует , что коэффициент передачи оптимального фильтра должен иметь вид :

,

заметим, что есть спектральная функция,

сопряженная спектральной функции сигнала. Поэтому оптимальный коэффициент передачи фильтра будет определяться следующим образом:

. (п.3.10).

Заметим, что если безразмерная функция, то коэффициент А должен иметь размерность обратную размерности спектра. Из формулы (3.10) следует, что . Оптимальный фильтр должен пропускать спектральные составляющие шума неравномерно, с тем большим ослаблением, чем меньше модуль спектра сигнала. В результате полная мощность шума будет меньшей, чем при равномерной амплитудной характеристике. Слагаемое фазовой характеристики в (3.8) компенсирует фазовые сдвиги в спектре сигнала. Слагаемое обеспечивает появление пика выходного сигнала в момент , то есть задержку выходного сигнала относительно его начала на входе. Только при условии может быть использована вся энергия сигнала ,имеющего длительность Т , для создания наибольшего возможного пика в момент.

Ясно, что дальнейшее увеличение запаздывания не влияет на величину пика.

Приложение 2. Связь между корреляционными функциями и спектральными плотностями на входе и выходе линейной системы [1]

 

Рассматриваем линейную систему, имеющую комплексный коэффициент передачи и импульсную функцию . Пусть на вход этой системы подан стационарный случайный сигнал , имеющий корреляционную функцию и спектральную плотность . Найдём корреляционную функцию и спектральную плотность на выходе системы.

Имеем:

.
Но .

Подставив (п.2.2) в (п.2.1), имеем :

Меняя порядок интегрирования, получим:

(п.2.3).

Так как

То вместо (п.2.3) можно написать:

Найдём теперь соотношение между спектральными плотностями входного и выходного сигналов.. Имеем:

Подставляя (п..2.4) в (п.2.5), получим:

В других обозначениях:

(п.2.6).

Это соотношение широко используется при оценке спектральной плотности мощности шума в линейных системах.

Приложение 1. Свойства корреляционных функций

 

Функции когерентности B(t) и корреляции R(t), определяющие связь двух значений случайной величины в произвольные моменты времени, были определены через двумерную плотность распределения вероятности [ см. (1.6), (1.7),(1.8) основного текста].

Для эргодических процессов эти же функции были определены усреднением произведения двух текущих значений случайного процесса при сдвинутых аргументах. [см.(1.12) основного текста ].

Приведём доказательство основных свойств корреляционных функций.

1.Из определения этих функций (1.6) , (1.12) следует, что при t=0

 — мощность случайного процесса.

2. Функция корреляции четная функция.

Действительно :

.

3. Функция R(t) есть невозрастающая функция.

Это свойство следует из равенства:. Или

, беря среднее по времени от обеих частей этого равенства, получаем:.

4. Функция корреляции детерминированного процесса.

Пример 1.

Заметим , что при конечном времени интегрирования Т корреляционная функция имеет член, описывающий осцилляции по аргументу, убывающие как 1/T.

Пример 2. Функция корреляции для детерминированной перидической функции.

Так как функция x (t) представлена рядом по полной системе ортогональных функций, то в результате вычисления интегралов (аналогичных тому, который был вычислен в предыдущем примере) будут не равны нулю лишь члены с одинаковыми частотами. Это даст для искомой корреляционной функции следующий результат:

Аналогично можно убедиться, что и взаимная корреляционная функция двух периодических функций будет содержать только те частоты, которые имеются в обеих функциях.

7. Статистические критерии обнаружения сигналов в шумах

 

7. Статистические критерии обнаружения сигналов в шумах

В ряде задач приёма сигналов в присутствии шумов нельзя ограничиться таким общим критерием, как отношение сигнал / шум. Возникает необходимость использовать более тонкие статистические свойства процессов, которые дают возможность количественно оценить достоверность полученных данных. (например, о координатах объекта по сигналам РНС или координатах цели по данным радиолокатора). Вследствие случайного характера помех принципиально невозможно добиться их полного устранения. Использование рассмотренных выше «оптимальных» фильтров меняет характеристики случайного процесса, но процесс остаётся случайным. Путём совершенствования приёмных устройств можно снизить вероятность ошибки только до некоторого уровня . [13 ].

В данном пособии ограничимся изложением классической задачи обнаружения сигнала. Пусть на выходе приёмного устройства имеется некий сигнал — случайный процесс:

U(t) = V(t) + z (t) (7.1)

Этот процесс может представлять либо только шумы — z(t) . либо сумму детерминированного сигнала V(t) и шума. Будем считать, что факт наличия сигнала V(t) тоже случаен.

Для решения вопроса о наличии сигнала в данный момент можно принять правило: сигнал присутствует, если U (t) > E, т.е. превышает некоторый уровень, порог и что сигнал отсутствует в противоположном случае. U(t) 

Ошибочный ответ может быть дан в двух несовместимых между собою случаях :1) когда сигнал отсутствует, V(t) = 0, но напряжение шума превышает уровень Е. (событие А = «ложная тревога» .- Л.Т.) 2) Когда сигнал присутствует, V(t)  0, но сумма сигнала и шума не превышает уровня U(t) Б, «пропуск сигнала»).

Вероятность ложной тревоги (событие А), т. е. того, что будут совмещены два события — отсутствие сигнала и превышение шумом уровня Е ( при отсутствии сигнала) , равна априорной вероятности отсутствия сигнала, умноженной на апостериорную вероятность превышения уровня Е, при условии, что сигнал отсутствует. Априорной вероятностью q отсутствия сигнала зададимся, а апостериорную вероятность превышения шумом уровня Е легко получить по одномерной функции распределения шума W(x).

 

, тогда (7.2)

Вероятность того, что будут совмещены два события — присутствие сигнала и непревышение суммарным напряжением уровня Е (вероятность события Б) равна априорной вероятности присутствия сигнала, умноженной на апостериорную вероятность непревышения уровня Е при условии, что сигнал присутствует. Априорная вероятность присутствия сигнала равна:

Апостериорную вероятность непревышения уровня Е можно получить, используя одномерную функцию распределения суммы сигнала и шума — .

, тогда (7.3),

Так как события А и Б несовместимы, то вероятность ошибочного ответа Р(А или Б) равна:

Р(А или Б) = Р(А) + Р(Б) =
(7.4).

Следовательно, искомая вероятность правильного ответа равна:

(7.5)

Возникает вопрос: как выбрать пороговый уровень Е? Ясно, что если уровень выбрать высоким , то вероятность Р(А) — ложной тревоги будет мала, но вероятность пропуска имеющегося сигнала будет велика. Наоборот, при низком уровне Е мала будет вероятность пропуска сигнала, но будет значительной вероятность ложной тревоги Р (А).Эти качественные рассуждения можно облечь в количественные соотношения, зависящие от конкретной задачи.

Может быть поставлена задача нахождения оптимальной величины порога Е, для которого вероятность правильного ответа (7.5) при заданных функциях распределения сигнала и шума максимальна. Вычисляя производную выражения (7.5) по Е и приравнивая её нулю, получаем уравнение для определения оптимального уровня:

что даёт (7.6).

Статистический критерий (7.6), обеспечивающий максимальную вероятность правильного ответа при одном или нескольких измерениях , называется критерием «идеального наблюдателя».

Как следует из уравнения (7.6), определяемый уровень зависит от вида функций распределения.

Рассмотрим решение этого уравнения на примере обнаружения положительной телеграфной посылки (положительного импульса с амплитудой V) на фоне шума, подчиняющемуся нормальному закону распределения, с дисперсией . Наличие или отсутствие сигнала скажется только на среднем значении суммарного сигнала (7.1).

Соответственно плотности распределения будут иметь вид:

, (7.7).

 

Смысл выбора порога (см. уравнение 7.6) иллюстрируется рис.3.7 .

Рис. 36 Рис.37 

Оптимальный уровень определяется точкой пересечения графика (1) — распределения шума с графиком (2) - совместного распределения сигнала и шума.( с учётом масштабных коэффициентов q,p). Как видно из рисунка 3.7 , при сильном сигнале уровень Е должен выбираться высоким, а при слабом этот уровень приближается к среднеквадратичному напряжению шума.

В случае, когда априорная вероятность появления сигнала неизвестна, часто полагают р=1/2, считая, что априорно равновероятно, как наличие, так и отсутствие сигнала. (заметим, что при этом q=1/2 тоже). Тогда для распределений (7.7) величина порога оказывается равной Е= V/2. ( См. Рис 3.6).

Если уровень Е выбран, то для рассматриваемого примера, где плотность распределения вероятностей шума и сигнала с шумом определены выражениями (7.7), для вероятностей ложной тревоги и пропуска сигнала, используя (7.2) и (7.3), получаются выражения:

(7.8).

Здесь

- функция Крампа [6].

На практике обычно интересуются не вероятностью пропуска сигнала, а вероятностью правильного обнаружения D (при условии, что превышен уровень Е):

( при p=1/2)..(7.9).

Приведём другой пример. Подлежащий определению сигнал является огибающей суммарного высокочастотного колебания, которое вызвано как воздействием шума, так и полезного высокочастотного сигнала (радиоимпульса).

При воздействии одного шума плотность распределения огибающей r высокочастотного колебания описывается функцией Релея:

при , и  при r

- дисперсия шума.

При совместном воздействии шума и высокочастотного сигнала огибающая

имеет плотность распределения, подчиняющуюся закону Релея — Райса:

, при r>0 (7.11).

и , при r модифицированная функция Бесселя.

 

Рис.38 

Графики функций (7.10) и (7.11) приведены на рис. 38.

Если в этом примере опять принять p=q, то оптимальный уровень опять определится точкой пересечения кривой распределения шума с кривой совместного распределения сигнала и шума. Из рисунка видно: при сильном сигнале уровень Е должен выбираться высоким, а при слабом сигнале этот уровень приближается к среднеквадратичному напряжению шума. При p q масштабы графиков функций (7.10) и (7.11) соответственно изменятся, но оптимальный уровень будетпо-прежнемуопределяться уравнением (7.6).то есть точкой пересечения соответствующих графиков.

Рассмотренный критерий идеального наблюдателя, когда как ложное обнаружение, так и пропуск сигнала нежелательны в одинаковой степени, наиболее характерен для систем радиосвязи.

В радиолокационных системах обнаружения используется другой критерий, называемый критерием Неймана-Пирсона. Использование другого критерия объясняется тем, что ложное обнаружение цели может иметь весьма нежелательные последствия. Поэтому вероятность ложной тревоги должна быть весьма малой, обычно задаются её значением порядка -. Часто её значение не может быть увеличено даже учитывая то , что при этом снижается вероятность обнаружения сигнала. Итак, при использовании критерия Неймана-Пирсона вероятность ложной тревоги фиксируется изначально. Так как вероятность ложной тревоги функционально связана с относительным порогом, то последний также оказывается заданным

Практически стараются удовлетворить одновременно двум противоречивым требованиям : 1) чтобы вероятность Р(Б) пропуска сигнала не превосходила некоторой величины [Р(Б) 

Левый график изображает функцию, а правый -.

Рис.39

Вертикальная линия, восстановленная из точки соответствующего значения относительного порога (E/s), совместно с графиками ограничивает площади, соответствующие вероятностям Р(А) и Р(Б).Они отмечены разной штриховкой.. Приведенные графики позволяют качественно проанализировать различные ситуации. Так при увеличении отношения сигнал /шум (а/s) график функции будет смещаться вправо(смотри рис.38). Поэтому для сохранения допустимой величины Р(Б) -вероятности пропуска сигнала, окажется возможным увеличить относительный порог E/s. При этом площадь Р(А) — вероятность ложной тревоги уменьшится! Верно и обратное.

Поэтому единственной возможностью увеличения вероятности правильного обнаружения цели остаётся повышение отношения сигнал /шум на входе порогового устройства , т. е. на выходе линейного тракта приёмного устройства. Эти вопросы были рассмотрены в предыдущих разделах. Методики расчета конкретных радиотехнических устройств и количественных оценок вероятностных характеристик приема реальных флуктуирующих сигналов в присутствии шума достаточно сложны и изложены в специальной литературе.

6. Определение характеристик узкополосного сигнала методом оценки параметров плотности распределения амплитуды

 

Рассмотрим возможность использования стохастического характера среды распространения электромагнитных волн для определения параметров сигнала. Конкретно рассмотрим возможность оценки отношения амплитуд «земного» и отраженного от ионосферы сигналов при распространении электромагнитных волн в волноводном канале Земля — ионосфера. Будут рассмотрены два альтернативных метода : метод моментов и метод максимального правдоподобия.

Для использования этих методов существенно выполнение следующих условий:

  • в точке приёма электромагнитное поле представляется суммой двух волн «земной» , распространяющейся вдоль земной поверхности и однократно отраженной от ионосферы,
  • принимается гипотеза о типе (характере) плотности распределения амплитуды отраженного сигнала.

Далее определяются параметры плотности распределения суммарного сигнала. Естественно, что эти условия, даже приближенно, выполняются только в ограниченной области частот, электрических свойств земной поверхности и ионосферы.

Модель односкачкового распространения адекватно описывает условия распространения электромагнитных волн в средневолновом и длинноволновом диапазонах ( на частотах 0.1 — 1.5 мГц) при распространении над сухопутными трассами протяжённостью в сотни километров. При этом амплитуды многократно отраженных волн оказываются относительно малыми и полное поле определяется суммой «земной» и однократно отраженной волн. Такая модель подтверждается экспериментально при анализе принимаемых импульсных щирокополосных сигналов, когда оказывается возможным разделение этих волн вследствие запаздывания отраженной волны. Ранее выполненные эксперименты с импульсными сигналами позволили установить, что ортогональные компоненты отраженного сигнала в большинстве случаев распределены нормально и независимо, причем практически с нулевым средним. Отсюда следует, что амплитуда суммарного сигнала подчиняется закону распределения Рэлея-Райса [ ].

(6.1)

 

где- модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.

Параметрами функции (6.1) являются: амплитуда земного сигнала (a),

( её считаем детерминированной, не подверженной случайным флуктуациям), среднеквадратичная величина амплитуды отраженного сигнала s и величина амплитуды суммарного сигнала r . Равенство s = 0 соответствует отсутствию отраженного сигнала.

Задача состоит в том, чтобы из экспериментально полученной реализации суммарного сигнала определить параметры a иs .

В качестве источников сигнала можно использовать обычные радиовещательные станции, выделяя при приёме только амплитуду суммарного сигнала на несущей частоте.

Отражающая верхняя граница волновода — ионосфера подвержена случайным флуктуациям, поэтому электромагнитное поле отраженной волны — случайный процесс, вообще нестационарный. При выборе временного интервала анализа следует иметь в виду, что должны быть удовлетворены противоречивые требования. Действительно, с одной стороны, интервал анализа должен быть минимальным, чтобы не потерять естественные природные вариации свойств ионосферы и чтобы на этом интервале процесс можно было считать стационарным. Это позволяет использовать классическую теорию стационарных случайных процессов. С другой стороны, интервал между отсчётами при измерениях должен превышать время корреляции случайного процесса, чтобы эти отсчёты были независимыми. Кроме того, понятно, что для получения статистических оценок на интервале «стационарности» необходимо иметь представительное число отсчётов. Возможность удовлетворения указанным противоречивым требованиям зависит от конкретного физического процесса. В результате обработки данных эксперимента с широкополосными импульсными радиосигналами было установлено: время корреляции амплитуд отраженных сигналов составляет единицы минут. Поэтому интервал выборки для анализа должен быть не менее десятков минут. При увеличении его сверх этого интервала может быть не оправдана гипотеза о стационарности процесса. На восходе и заходе Солнца этот интервал должен быть уменьшен до минут.

6.1 Метод моментов.

Считая, что закон распределения плотности вероятности (1) выполняется для экспериментально зарегистрированных амплитуд суммарного сигнала, строятся поверхности первого и второго моментов (Рис. 29 ? 30)по данным выборки над плоскостью параметров a и s .По известным формулам[6]:

, (6.2)
, (6.3)

где I0, I1 — модифицированныефункции Бесселя нулевого и первого порядка.

Далее, сравнивая реальные, полученные по данным эксперимента , М1* и М2* с предвычисленными для наборов значений (a, s), подбирается пара параметров aк, sк таких, чтобы значения предвычисленных и экспериментальных моментов оказались равными ( с точностью до шага вариации аргумента функций (6.2), (6.3) при вычислениях).

Практически подбор искомых параметров aк, sк осуществляется следующим образом. Плоскостями, соответствующими найденным из эксперимента значениям моментов М1* и М2*, проводятся сечения поверхностей моментов М1 и М2, априорно построенных по их вычисленным значениям для набора (сетки) параметров (aк, s к). Эти сечения, проектируясь на плоскость параметров, дают изолинии, как функции этих параметров.

Точка пересечения изолинии первого и второго моментов на этой плоскости и даёт искомые значения параметров, которые обеспечивают равенство априорно вычисленных моментов М1 , М2 со значениями М1*, М2*, найденными из эксперимента.

Рис.29, Рис.30

Математическое моделирование эксперимента показало работоспособность этого метода. Наиболее информативными являются первый начальный и второй центральный моменты. Это связано с тем, что для двух начальных моментов при реально ограниченной выборке изолинии пересекаются под острым углом и результат получается с большим разбросом Рис.31. А при использовании при обработке центрального второго момента , отраженный от ионосферы сигнал уверенно отделялся от «земного» даже при его относительно малой амплитуде.

Рис. 31

Очевидно, что конкретное расположение проекций сечений поверхностей М1, М2 плоскостями М1* и М2* и, следовательно, угол пересечения этих проекций зависит от величин моментов, полученных по данным эксперимента. Таким образом, результаты определения a, s могут иметь различную точность.

Рис.32

Работоспособность метода моментов подтвердилась и при обработке данных реальных экспериментов. В качестве примера на рис 6.4 изображена гистограмма амплитуд суммарного сигнала радиостанции * Маяк* на частоте 549кГц и построенный по найденным параметрам график функции плотности распределения Релея — Райса (1). Полученное совпадение можно считать приемлемым (рис.6.4). Недостатком рассмотренного метода моментов является также и то, что отсутствуют теоремы, позволяющие охарактеризовать свойства получаемых оценок параметров.

6.2. Метод максимального правдоподобия

Для решения рассматриваемой задачи об определении отношения амплитуд *земного* и отраженного сигналов на основе статистических характеристик суммарного сигнала может быть использован и широко известный метод максимального правдоподобия. При использовании этого метода будем также считать, что огибающая суммарного сигнала случайная величина r, распределённая по закону Рэлея-Райса. Плотность распределения вероятности этой случайной величины описывается выражением (6.1):

(6.1).

Здесь a — амплитуда земного сигнала (в конкретном эксперименте постоянная величина), s — среднеквадратическая амплитуда отраженного от ионосферы сигнала, r — амплитуда суммарного сигнала, регистрируемая в эксперименте.

Максимально правдоподобной оценкой называется та, которая максимизирует так называемую функцию правдоподобия — плотность вероятности выборки (выборка — это набор из N независимых измерений величин ). Так как измерения независимы, то эта плотность вероятности равна произведению плотностей вероятности отдельных её элементов. Учитывая большой динамический диапазон плотностей распределения, на практике оказывается удобным рассматривать логарифмы соответствующих величин. Тогда вместо произведения плотностей вероятности максимизировать сумму их логарифмов, учитывая монотонность этой функции.

Рассмотрим два варианта приложения метода максимального правдоподобия к задаче определения отношения амплитуд *земного* и отраженного сигналов. В первом варианте предполагается возможность измерения отдельно амплитуды *земной* волны. Это может быть возможно при некоторых условиях (частота сигнала, протяженность трассы и др.) в дневное время. При продолжении измерений в ночное время появляется отраженная волна и принимается уже суммарный сигнал . Таким образом, единственным параметром, требующим определения, оказывается отношение амплитуды отраженного сигнала к амплитуде *земного* .(g).В выражении (6.1) перейдём к новым переменным : . Тогда можем записать для плотности вероятности в безразмерных величинах:

(6.4).

Прологарифмировав функцию (6.4), а затем просуммировав по всем измеренным , получим искомый логарифм функции правдоподобия:

(6.5).

Задача теперь состоит в том, чтобы найти при каком g эта функция максимальна, то есть какое g наиболее вероятно.

Во втором варианте, когда возможно измерение только амплитуды суммарного сигнала, имеем два неизвестных параметра — амплитуды *земного* и отраженного сигналов. В этом случае удобно также перейти к безразмерным величинам: После логарифмирования суммирования функционал примет следующий вид:

(6.6).

Данный функционал нужно максимизировать по двум параметрам, чтобы найти интересующее отношение амплитуд *земного* и отраженного сигналов.

6.3. Практические результаты

Приведём примеры обработки данных сеанса измерений по методу правдоподобия в обоих вариантах. Анализировались сигналы радиостанции Finnradio (558 кГц), расположенной от пункта наблюдения на расстоянии 260 км. В этих условиях, как показали предварительно выполненные расчёты, а также прямые наблюдения, в дневных условиях отражённый от ионосферы сигнал практически отсутствовал. Амплитуда *земного* сигнала стабильна и равна 990 ед. АЦП. Поэтому можно было применить первую однопараметрическую модификацию метода. На рис 6.5 приведён график логарифма одномерной функции правдоподобия для одного из ночных сеансов с использованием найденной ранее величины (a).

Рис.33

 

Уверенно выделяется максимум при g = 0.175, что соответствует амплитуде отраженного сигнала s = 173 ед. АЦП.

Использование второго варианта метода иллюстрируется результатом обработки данных этого же сеанса наблюдений

Вычислялся логарифм двумерной функции правдоподобия для того же промежутка времени, но в предположении, что не известны обе амплитуды. На рис.6.6 изображён рельеф функции (6.5)- двухмерного логарифма функции правдоподобия.

Рис.34

Получены величины : *земной* сигнал a= 1020 ед. АЦП и отраженный s =170 ед. АЦП. Таким образом, относительное различие амплитуд одноимённых сигналов для обоих вариантов обработки составляет единицы процентов. Это свидетельствует о непротиворечивости и однозначности использованных вариантов метода максимального правдоподобия.

Рис.35

Преимущество метода максимального правдоподобия заключается в том, что теоретически доказано, что получающиеся оценки оказываются асимптотически несмещёнными, нормально распределенными и асимптотически состоятельными.

По описанной методике был обработан ряд круглосуточных сеансов.[7]. Повторяемость суточной зависимости амплитуды отражённой волны иллюстрируется графиками на рис. 35, которые соответствуют результатам обработки данных методом максимального правдоподобия за трое последовательных суток ( 20.03 , 21.03 , 22.03.02 в 2002 году).

Резюмируя физический результат приведенных примеров, можно утверждать, что в весенний сезон ( март) на данной трассе на рабочей частоте 558кГц до 22-хчасов и после7-мичасов , т.е. в дневное время, отраженный сигнал отсутствовал. В ночное же время наблюдается четкий суточный ход амплитуды отраженного сигнала с максимумом примерно в полночь а, так как амплитуда этого сигнала распределена по закону Релея, то легко получить, что с вероятностью 90% она меняется от 0 до 3.25 от амплитуды *земного* сигнала.

Необходимо ещё раз подчеркнуть, что описанный метод определения относительной величины амплитуды отраженного от ионосферы сигнала исследован и работает только при условии, что амплитуда отраженного сигнала подчиняется принятому закону плотности распределения вероятности в средневолновом диапазоне радиоволн при наблюдении за сигналами, распространяющимися над сухопутными трассами, протяжённостью несколько сотен километров. При увеличении длины трассы возрастает роль отражений высоких кратностей, и характер распределения амплитуды становится иной.

Заметим также, что если бы ионосфера оказалась в таком «спокойном» состоянии, что отражения от неё имело бы зеркальный характер, то рассмотренный выше метод не работал бы: суммарная амплитуда принятого сигнала была бы константой, возможно подверженной лишь медленному «тренду» в течение суток . Однако в действительности механизм отражения электромагнитных волн не соответствует модели зеркального отражения и метод работает (!) с указанными выше ограничениями по диапазону и дальности.

В заключение можно сделать вывод, что изложенный метод определения относительных амплитуд (в обоих вариантах ) , основанный на анализе статистических характеристик суммарного сигнала, может служить удобным инструментом наблюдения вариаций отражающих свойств нижней ионосферы . Практическое удобство этого метода в том, что ,во-первых, имеется очень широкий набор *даровых* источников — вещательных станций, расположенных на различных расстояниях и излучающих разные частоты.Во-вторых, в том, что регистрирующая аппаратура достаточно проста и ею могут быть укомплектованы многие измерительные пункты. Это может обеспечить дополнительный канал мониторинга состояния нижней ионосферы.

Ответственный за содержание: специалист управления по связям с общественностью С. С. Смирнова, s.s.smirnova@spbu.ru

Поиск