СПбГУ

Санкт-Петербургский государственный университет

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

                                                   

Нелинейные колебания и волны

 

(4-ыйкурс, VII семестр)

I. Введение

1. Программа курса. Обзор литературы по курсу лекций. Исторический обзор.

2. Общие сведения о колебаниях в линейном приближении.

3. Действие периодической внешней силы на линейный осциллятор. Резонанс.

4. Общие сведения о волнах в линейном приближении.

5. Устойчивость и неустойчивость систем.

6. Нелинейные системы нулевого порядка.

7. Нелинейные системы первого порядка. Эволюция популяции рыб при различных режимах рыболовства. Нелинейные аспекты перестройки административной системы управления экономикой к рыночной системе.

8. Нелинейные системы второго порядка. Фазовые траектории и типы особых точек на плоскости. Понятие грубости (структурной устойчивости) системы. Бифуркации на плоскости. Индекс Пуанкаре. Критерий Бендиксона. Качественный анализ RC — генератора. Нелинейный осциллятор. Движение электрона в периодическом поле продольной волны. Нелинейное взаимодействие хищник-жертва. Обобщение понятия «консервативная система».

9. Нелинейные «простые» системы. Стохастическая динамика простых систем. Странный аттрактор.

II. Методы решения задач теории нелинейных колебаний

1. Метод усреднения Боголюбова-Крылова. Колебания в RC-генераторе. Мягкий и жесткий режимы возбуждения колебаний.

2. Метод медленно изменяющихся амплитудВан-дерПоля.

3. Метод эквивалентной линеаризации. Нелинейный резонанс.

4. Описание внешнего воздействия на квазилинейную автоколебательную систему. Синхронизация на основном тоне. Стационарный режим. Биения при синхронизации на основном тоне. Биения при выходе тз области синхронизации. Синхронизация на обер тоне.

5. Описание колебаний в линейных параметрических системах методами нелинейной теории колебаний.

6. Метод Пуанкаре-Лайтхилла-Го.

7. Метод Дородницына для описания релаксационных колебаний

8. Метод промежуточных асимптотик для сингулярно возмущенных систем.

9. Метод припасовывания Пуанкаре. Диаграммы Кенигса-Лемерея.

10. Гамильтоновское описание колебаний. Фазовое пространство. Гамильтонова система. Система с одной степенью свободы. (Переменные «действие-угол». Спектр нелинейных колебаний. «Расплывание» фазовой капли. Нелинейный маятник, колебания плазмы. Колебания в прямоугольной яме).

11. Приближенные методы при использовании гамильтонова описания колебаний. Теория возмущений (Ряды по степеням возмущения. Возмущение свободного движения периодической силой. Резонансы и малые знаменатели). Метод усреднения. Адиабатические инварианты.

III. Введение в теорию нелинейных волн

1. Кинематическое описание ударной волны-простейшее модельное приближение для ударной волны. Закономерности формирования ударного скачка. Понятие характеристики. Решение граничных задач. Соотношения на разрыве ударной волны. Эволюция непрерывного профиля, правило Уизема.

2. Совместное влияние нелинейности и диссипации. Уравнение Бюргерса. Стационарное решение уравнения Бюргерса. Нестационарное решение уравнения Бюргерса.

3. Совместное влияние нелинейности и дисперсии. УравнениеКортевега-деВриза. Стационарые решения (периодические и непериодическое). Свойства солитонов. Относительная роль нелинейности и дисперсии. Уравнение Уизема-модельное уравнение, учитывающее произвольный закон дисперсии и простейший вид нелинейности. «Эффект лошади Хьюстона» в мелких узких каналах.

4. Размерность.П-теорема(Бакенгама) в теории размерности.

5. Подобие и моделирование.

6. Построение точных частных решений нелинейных задач математической физики. Автомодельные решения — промежуточные асимптотики. Задача о сильном тепловой волне при взрыве (эволюция огненного шара). Автомодельность первого и второго рода.

7. Абсолютная и конвективная неустойчивости волн. Критерии пропускания волн. Правила Стеррока.

8. Вариационный метод Уизема. Связь групповой скорости с амплитудой поля в линейном приближении. Метод Уизема для нелинейной теории волн. Приближение нелинейной геометрической оптики и обобщение этого приближения. Волны с отрицательной энергией. Описание слабой нелинейности для квазимонохроматических процессов. Критерии неустойчивости. Эффект расщепления групповой скорости.

Литература

1) М.И.Рабинович, Д.И.Трубецков. Введение в теорию колебаний и волн. М. Наука,1984.

2) Дж.Уизем. Линейные и нелинейные волны. М. Мир. 1974.

3) Н.Н.Боголюбов. Ю.А.Митропольский. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М. Наука.1974.

4) Л.П.Мандельштам. Лекции по теории колебаний. М. Наука. 1972.

5) В.И.Карпман. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М. Наука, 1973.

6) А.п.Ахиезер и др. Электродинамика плазмы. М. Наука, 1974.

7) Г.И.Баренблат. Подобие. Автомодельность, промежуточная асимптотика. Л. Гидрометеоиздат, 1978.

8) Л.И.Седов. Методы подобия и размерности в механике. М. Наука, 1967.

9) П.В.Бриджмен. Анализ размерностей. М. ОНТИ, 1934.

10) Дж.Коул. Методы возмущений в прикладной математике. М. Мир, 1972.

11) Дж.Лайтхилл. Волны в жидкостях. М. Мир, 1981.

12) Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Гидродинамика. М. Наука, 1986.

13) О.В.Руденко, Солуян. Теоретичекие основы нелинейной акустики. М. Наука,1975.

14) П.С.Ланда. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М. Наука. 1980.

15) Б.Б.Кадомцев. Коллективные явления в плазме. М. Наука, 1976.

16) Г.М.Заславский. Р.З.Сагдеев. Введение в нелинейную физику. М. Наука, 1988.

Программу составил — профессор Павлов В.А., май 2000.

 

Ответственный за содержание: специалист управления по связям с общественностью С. С. Смирнова, s.s.smirnova@spbu.ru

Поиск