СПбГУ

Санкт-Петербургский государственный университет

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

                                                   

Приложение 3. Оптимальный линейный фильтр при белом шуме [3]

 

При обнаружении сигнала на фоне шума наибольшее распространение получил критерий максимума отношения сигнал / помеха на выходе фильтра. Для этого требуется синтезировать фильтр, обеспечивающий в заданный момент времени получение наибольшего возможного отношения пикового значения сигнала к среднеквадратичному значению шума.Сохранение формы сигнала не требуется, так как для обнаружения в шумах форма сигнала значения не имеет.

Будем считать, что сигнал детерминированный , известны его временная функция f(t) и, следовательно, спектр F(). Шум будем считать стационарным процессом с равномерным энергетическим спетром, то есть шум будем считать «белым» со спектральной плотностью мощности .

Задача создания такого оптимального фильтра решается в два этапа :

А) Определение его комплексного коэффициента передачи

Б) Определение структуры (схемы) фильтра и его параметров.

Коэффициент может быть найден для любого физически реализуемого сигнала. Второй этап более сложен и может не иметь решения. Необходимо оценить условия физической осуществимости искомого оптимального фильтра.

Перейдём к конкретному решению первого этапа — определению оптимального

коэффициента передачи фильтра в указанном выше смысле для заданного сигнала и при «белом» шуме. Представив сигнал в виде интеграла Фурье

(п.3.1),

( где фазовая характеристика спектра сигнала)., а комплексный коэффициент передачи фильтра в виде

Запишем сигнал на выходе фильтра:

(п.3.2)

Пусть пик сигнала на выходе фильтра получается в момент (пока не известный).

(п.3.3)

Теперь оценим мощность шума на выходе этого фильтра.

(п.3.4).

Эффективное, среднеквадратичное напряжение шума равно .

Следовательно, отношение пикового значения сигнала к напряжению шума

(п.3.5).

Далее задача заключается в нахождении коэффициента передачи фильтра,

обеспечивающего максимум правой части выражения (3.5). Воспользуемся неравенством Шварца. Для числителя выражения (3.5) можно записать:

(п.3.6)

Используя (3.6) , неравенство (3.5) можно записать так :

(п.3.7)

Отсюда видно, что отношение сигнал/шум достигает максимума, когда неравенство (3.7) обращается в равенство. Поскольку правая часть не зависит от , для этого необходимо выполнение двух условий (см. (3.3)):

1) чтобы . Откуда

(п.3.8).

2) чтобы , где А постоянный коэффициент. (п.3.9).

Отсюда следует , что коэффициент передачи оптимального фильтра должен иметь вид :

,

заметим, что есть спектральная функция,

сопряженная спектральной функции сигнала. Поэтому оптимальный коэффициент передачи фильтра будет определяться следующим образом:

. (п.3.10).

Заметим, что если безразмерная функция, то коэффициент А должен иметь размерность обратную размерности спектра. Из формулы (3.10) следует, что . Оптимальный фильтр должен пропускать спектральные составляющие шума неравномерно, с тем большим ослаблением, чем меньше модуль спектра сигнала. В результате полная мощность шума будет меньшей, чем при равномерной амплитудной характеристике. Слагаемое фазовой характеристики в (3.8) компенсирует фазовые сдвиги в спектре сигнала. Слагаемое обеспечивает появление пика выходного сигнала в момент , то есть задержку выходного сигнала относительно его начала на входе. Только при условии может быть использована вся энергия сигнала ,имеющего длительность Т , для создания наибольшего возможного пика в момент.

Ясно, что дальнейшее увеличение запаздывания не влияет на величину пика.

Ответственный за содержание: специалист управления по связям с общественностью С. С. Смирнова, s.s.smirnova@spbu.ru

Поиск