СПбГУ

Санкт-Петербургский государственный университет

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

                                                   

2. Спектральное описание случайных процессов

 

Введем спектральную плотность автокорреляционной функции случайного процесса S(), связанную с автокорреляционной функцией преобразованием Фурье

, (2.1)

Спектральная плотность автокорреляционной функции случайного процесса описывает мощность случайного процесса, приходящуюся, на заданный интервал частот, поэтому часто эту функцию называют спектральной плотностью мощности случайного процесса. Вследствие четности автокорреляционной функции (1.11) ее спектральная плотность является вещественной функцией.

В отличие от спектрального описания детерминированных функций, когда с помощью преобразования Фурье по заданному частотному спектру можно определить временную форму сигнала, спектральное описание случайного процесса (1.15) проводится для его статистической характеристики — автокорреляционной функции.С помощью выражения (2.1) можно выразить среднюю мощность случайного процесса через :

(2.2)

а мощность флуктуационной составляющей случайного процесса- дисперсия случайного процесса — может быть найдена с помощью выражения (1.9). При оптимальной фильтрации сигналов из шумов часто пользуются понятием «белого» шума. Белым шумом называется случайный процесс, у которого спектральная плотность автокорреляционной функции не зависит от частоты = S0 . Это соответствует тому, что мощность белого шума равномерно распределена по всему частотному диапазону. Белый шум- идеализированный случайный процесс, так как его автокорреляционная функция описывается дельта функцией Дирака, а дисперсия такого процесса бесконечна. Однако, в случае постоянства спектральной плотности мощности случайного процесса в рассматриваемом конечном диапазоне частот, введение такой идеализации позволяет разрабатывать достаточно легко применимые оптимальные методы фильтрации. Пример белого шума — тепловые шумы транзисторов в диапазоне частот от 0 до , где к- постоянная Больцмана, T- абсолютная температура, а h — постоянная Планка. Понятие «белый шум» определяет только спектральную характеристику случайного процесса и оставляет открытым вопрос о законах распределения. Белыми шумами могут быть названы случайные процессы, имеющие равномерный энергетический спектр и различные законы распределения. Спектральное описание случайного процесса оказывается черезвычайно удобным при учете влияния на них амплитудно-частотных характеристик различных устройств. Так при прохождении случайного процесса через линейную систему, можно показать, что спектральные плотности мощности случайного процесса на входе и на входе линейной системы связаны следующим соотношением [ 2 ]

(2.3)

Где -комплексный коэффициент передачи линейной системы.

Ответственный за содержание: специалист управления по связям с общественностью С. С. Смирнова, s.s.smirnova@spbu.ru

Поиск