СПбГУ

Санкт-Петербургский государственный университет

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

                                                   

7. Статистические критерии обнаружения сигналов в шумах

 

7. Статистические критерии обнаружения сигналов в шумах

В ряде задач приёма сигналов в присутствии шумов нельзя ограничиться таким общим критерием, как отношение сигнал / шум. Возникает необходимость использовать более тонкие статистические свойства процессов, которые дают возможность количественно оценить достоверность полученных данных. (например, о координатах объекта по сигналам РНС или координатах цели по данным радиолокатора). Вследствие случайного характера помех принципиально невозможно добиться их полного устранения. Использование рассмотренных выше «оптимальных» фильтров меняет характеристики случайного процесса, но процесс остаётся случайным. Путём совершенствования приёмных устройств можно снизить вероятность ошибки только до некоторого уровня . [13 ].

В данном пособии ограничимся изложением классической задачи обнаружения сигнала. Пусть на выходе приёмного устройства имеется некий сигнал — случайный процесс:

U(t) = V(t) + z (t) (7.1)

Этот процесс может представлять либо только шумы — z(t) . либо сумму детерминированного сигнала V(t) и шума. Будем считать, что факт наличия сигнала V(t) тоже случаен.

Для решения вопроса о наличии сигнала в данный момент можно принять правило: сигнал присутствует, если U (t) > E, т.е. превышает некоторый уровень, порог и что сигнал отсутствует в противоположном случае. U(t) 

Ошибочный ответ может быть дан в двух несовместимых между собою случаях :1) когда сигнал отсутствует, V(t) = 0, но напряжение шума превышает уровень Е. (событие А = «ложная тревога» .- Л.Т.) 2) Когда сигнал присутствует, V(t)  0, но сумма сигнала и шума не превышает уровня U(t) Б, «пропуск сигнала»).

Вероятность ложной тревоги (событие А), т. е. того, что будут совмещены два события — отсутствие сигнала и превышение шумом уровня Е ( при отсутствии сигнала) , равна априорной вероятности отсутствия сигнала, умноженной на апостериорную вероятность превышения уровня Е, при условии, что сигнал отсутствует. Априорной вероятностью q отсутствия сигнала зададимся, а апостериорную вероятность превышения шумом уровня Е легко получить по одномерной функции распределения шума W(x).

 

, тогда (7.2)

Вероятность того, что будут совмещены два события — присутствие сигнала и непревышение суммарным напряжением уровня Е (вероятность события Б) равна априорной вероятности присутствия сигнала, умноженной на апостериорную вероятность непревышения уровня Е при условии, что сигнал присутствует. Априорная вероятность присутствия сигнала равна:

Апостериорную вероятность непревышения уровня Е можно получить, используя одномерную функцию распределения суммы сигнала и шума — .

, тогда (7.3),

Так как события А и Б несовместимы, то вероятность ошибочного ответа Р(А или Б) равна:

Р(А или Б) = Р(А) + Р(Б) =
(7.4).

Следовательно, искомая вероятность правильного ответа равна:

(7.5)

Возникает вопрос: как выбрать пороговый уровень Е? Ясно, что если уровень выбрать высоким , то вероятность Р(А) — ложной тревоги будет мала, но вероятность пропуска имеющегося сигнала будет велика. Наоборот, при низком уровне Е мала будет вероятность пропуска сигнала, но будет значительной вероятность ложной тревоги Р (А).Эти качественные рассуждения можно облечь в количественные соотношения, зависящие от конкретной задачи.

Может быть поставлена задача нахождения оптимальной величины порога Е, для которого вероятность правильного ответа (7.5) при заданных функциях распределения сигнала и шума максимальна. Вычисляя производную выражения (7.5) по Е и приравнивая её нулю, получаем уравнение для определения оптимального уровня:

что даёт (7.6).

Статистический критерий (7.6), обеспечивающий максимальную вероятность правильного ответа при одном или нескольких измерениях , называется критерием «идеального наблюдателя».

Как следует из уравнения (7.6), определяемый уровень зависит от вида функций распределения.

Рассмотрим решение этого уравнения на примере обнаружения положительной телеграфной посылки (положительного импульса с амплитудой V) на фоне шума, подчиняющемуся нормальному закону распределения, с дисперсией . Наличие или отсутствие сигнала скажется только на среднем значении суммарного сигнала (7.1).

Соответственно плотности распределения будут иметь вид:

, (7.7).

 

Смысл выбора порога (см. уравнение 7.6) иллюстрируется рис.3.7 .

Рис. 36 Рис.37 

Оптимальный уровень определяется точкой пересечения графика (1) — распределения шума с графиком (2) - совместного распределения сигнала и шума.( с учётом масштабных коэффициентов q,p). Как видно из рисунка 3.7 , при сильном сигнале уровень Е должен выбираться высоким, а при слабом этот уровень приближается к среднеквадратичному напряжению шума.

В случае, когда априорная вероятность появления сигнала неизвестна, часто полагают р=1/2, считая, что априорно равновероятно, как наличие, так и отсутствие сигнала. (заметим, что при этом q=1/2 тоже). Тогда для распределений (7.7) величина порога оказывается равной Е= V/2. ( См. Рис 3.6).

Если уровень Е выбран, то для рассматриваемого примера, где плотность распределения вероятностей шума и сигнала с шумом определены выражениями (7.7), для вероятностей ложной тревоги и пропуска сигнала, используя (7.2) и (7.3), получаются выражения:

(7.8).

Здесь

- функция Крампа [6].

На практике обычно интересуются не вероятностью пропуска сигнала, а вероятностью правильного обнаружения D (при условии, что превышен уровень Е):

( при p=1/2)..(7.9).

Приведём другой пример. Подлежащий определению сигнал является огибающей суммарного высокочастотного колебания, которое вызвано как воздействием шума, так и полезного высокочастотного сигнала (радиоимпульса).

При воздействии одного шума плотность распределения огибающей r высокочастотного колебания описывается функцией Релея:

при , и  при r

- дисперсия шума.

При совместном воздействии шума и высокочастотного сигнала огибающая

имеет плотность распределения, подчиняющуюся закону Релея — Райса:

, при r>0 (7.11).

и , при r модифицированная функция Бесселя.

 

Рис.38 

Графики функций (7.10) и (7.11) приведены на рис. 38.

Если в этом примере опять принять p=q, то оптимальный уровень опять определится точкой пересечения кривой распределения шума с кривой совместного распределения сигнала и шума. Из рисунка видно: при сильном сигнале уровень Е должен выбираться высоким, а при слабом сигнале этот уровень приближается к среднеквадратичному напряжению шума. При p q масштабы графиков функций (7.10) и (7.11) соответственно изменятся, но оптимальный уровень будетпо-прежнемуопределяться уравнением (7.6).то есть точкой пересечения соответствующих графиков.

Рассмотренный критерий идеального наблюдателя, когда как ложное обнаружение, так и пропуск сигнала нежелательны в одинаковой степени, наиболее характерен для систем радиосвязи.

В радиолокационных системах обнаружения используется другой критерий, называемый критерием Неймана-Пирсона. Использование другого критерия объясняется тем, что ложное обнаружение цели может иметь весьма нежелательные последствия. Поэтому вероятность ложной тревоги должна быть весьма малой, обычно задаются её значением порядка -. Часто её значение не может быть увеличено даже учитывая то , что при этом снижается вероятность обнаружения сигнала. Итак, при использовании критерия Неймана-Пирсона вероятность ложной тревоги фиксируется изначально. Так как вероятность ложной тревоги функционально связана с относительным порогом, то последний также оказывается заданным

Практически стараются удовлетворить одновременно двум противоречивым требованиям : 1) чтобы вероятность Р(Б) пропуска сигнала не превосходила некоторой величины [Р(Б) 

Левый график изображает функцию, а правый -.

Рис.39

Вертикальная линия, восстановленная из точки соответствующего значения относительного порога (E/s), совместно с графиками ограничивает площади, соответствующие вероятностям Р(А) и Р(Б).Они отмечены разной штриховкой.. Приведенные графики позволяют качественно проанализировать различные ситуации. Так при увеличении отношения сигнал /шум (а/s) график функции будет смещаться вправо(смотри рис.38). Поэтому для сохранения допустимой величины Р(Б) -вероятности пропуска сигнала, окажется возможным увеличить относительный порог E/s. При этом площадь Р(А) — вероятность ложной тревоги уменьшится! Верно и обратное.

Поэтому единственной возможностью увеличения вероятности правильного обнаружения цели остаётся повышение отношения сигнал /шум на входе порогового устройства , т. е. на выходе линейного тракта приёмного устройства. Эти вопросы были рассмотрены в предыдущих разделах. Методики расчета конкретных радиотехнических устройств и количественных оценок вероятностных характеристик приема реальных флуктуирующих сигналов в присутствии шума достаточно сложны и изложены в специальной литературе.

Ответственный за содержание: специалист управления по связям с общественностью С. С. Смирнова, s.s.smirnova@spbu.ru

Поиск