Классическая математическая физика 19 и первой половины 20-ого столетий ориентировалась на обслуживание физики того времени. Теория уравнения теплопроводности была разработана как инструмент для решения технических проблем, которые появились при создании первых паровых двигателей. Дифференциальная геометрия на изогнутых поверхностях была разработана Гауссом в ходе его профессиональной работы в качестве геодезиста. Уравнения Максвелла были предложены как универсальный путь объяснения огромного количества экспериментальных данных, касающихся электромагнитных явлений и собранных в середине 19-ого столетия. Разработка спектральной теории дифференциальных операторов в последнем столетии была вызвана потребностями квантовой механики. Быстрый рост информатики и дискретной математики в течение последних нескольких десятилетий был обусловлен новыми возможностями математического моделирования, которое возникло вследствие создания новых поколений компьютеров. Каждый раз новая ветвь математики появлялась как ответ на запросы какой-либо практической проблемы.

В течение девятнадцатого столетия новые проблемы были поставлены, главным образом, в физике и технике. Таким образом, та часть математики, которой адресовались эти вопросы, была естественным образом названа математической физикой. Первоначально вопросы, появляющиеся из физики изучались средствами, которые были уже доступны в математике, но скоро стало ясно, что математические вопросы, поставленные физикой, настолько глубоки и интригующи, что были разработаны новые ветви математики. Это, например, спектральная теория оператора Шредингера, или - совсем недавно - теория квантовых групп. Оба направления уже стали регулярными ветвями математики с собственной логикой и методами, разработанными для специальных целей ряда прикладных областей. Вообще, каждый глубокий математический вопрос, возникший в практике, порождает ветвь математики, которая развивается уже по законам математики, по касательной удаляясь от породившей ее практической деятельности ("Непозволительно пользоваться сомнительными суждениями, коль скоро мы решаем определенную задачу, будь то задача механики - все равно, которая поставлена совершенно определенно с точки зрения анализа. Она становится тогда задачей чистого анализа и должна трактоваться как таковая". А.М.Ляпунов, Зап. АН СССР, 1905г., т.XV||, ).

Тем временем, новые интригующие вопросы, появляющиеся в различных приложениях, требуют разработки новых ветвей математики. Они формально не могут быть названы математической физикой, но находятся в связи с приложениями таким же образом, как математическая физика связана с физикой. Формально они могут быть объединены под именем "прикладной математики", но фактически они имеют в основе существенную единую общую базу в построении и исследовании адекватных математических моделей новых объектов. Теория сложных систем - общий термин, который используется для обозначения совокупности ветвей Математики, ориентируемых на моделирование и исследование общих свойств таких систем в физике, химии, биологии и экономике. Обычно сложная система состоит из нескольких компонент. Каждый из них может изучаться в отдельности подходящими математическими инструментальными средствами, но, когда они соединены соответствующими взаимодействиями, система в целом может демонстрировать некоторые черты антиинтуитивного поведения. Лауреат Нобелевской премии, один из двадцати наиболее выдающихся ученых двадцатого столетия, Илья Романович Пригожин обнаружил новые необычные свойства даже в поведении самых простых моделей механических систем, подобных, например преобразованию Пекара. Идея о сотрудничестве между Сольвеевским Институтом, возглавляемым профессором И.Пригожиным, и Отделом математической физики Санкт-Петербургского Университета появилась в небольшой группе сотрудников Отдела математической Физики Б.Павлова, Ю. Куперина, К.Макарова и П.Курасова после Конференции по теории резонансов в квантовой механике в г. Упсала в 1992г., где Б.Павлов и П.Курасов встретились с профессором Пригожиным и его сотрудником И. Антониу. До 1995 г. группа существовала внутри Отдела математической физики Института Физики и трансформировалась в отдельную Лабораторию благодаря идее профессора В.С. Буслаева и поддержке профессора И. Пригожина и академика Л.Д. Фаддеева.

Наше кредо в теории Сложных Систем может быть сформулировано как необходимость создания адекватных решаемых моделей сложных систем, использующих новейшие методы теории операторов, геометрии, комплексного и гармонического анализа. Явная решаемость позволяет судить о качественных - часто антиинтуитивных - чертах поведения сложных систем, которые бывает трудно вычленить в процессе прямого перебора частных решений соответствующих математических задач даже с помощью компьютера. Это направление исследования стало чрезвычайно популярным в течение последнего десятилетия. Оно включает в себя теорию нелинейных интегрируемых систем, теорию резонансного рассеяния, математику финансовых производных и другие направления в тех областях прикладной математики, где объекты изучения настолько сложны, что аналитически могут быть решены только специальные случаи. Мы полагаем, что математики, вооруженные всеми современными инструментальными средствами, могут пройти свою половину пути навстречу с потреб-ностями практики. Нашим начальным шагом был перевод (Ю.Куперин, К.Макаров, Л.Дмитриева и В.Гейлер) книги С. Альбеверио с сотрудниками по решаемым моделям в квантовой механике. Одновременно мы разработали новую систему явно-решаемых моделей в квантовой механике, которая была вызвана необходимостью исследования многочастичных процессов рассеяния. В частности, мы предложили новую концепцию мешков в ядерной физике низких энергий, совместимую с законами сохранения. Математическая часть этой концепции описана в недавней книге: S. Albeverio и P. Kurasov, Singular Perturbations of Differential Operators, Cambridge University Press, 2000. Но наибольший интерес представляет приложение этих идей к проблемам ядерной и атомной физики, которое будет описано в следующей книге, которая готовится.

Диапазон интересов нашей лаборатории расширяется. Недавно мы начали заниматься проблемами финансовой математики. Успех в этом направлении пришел, в частности, в процессе поиска альтернативного метода изучения эволюции Блэка-Шоулза на стохастическом фоне, с использованием методов, которые мы обнаружили ранее в модели Мессбауэрского рассеяния в мелкодисперсной среде. Мы получили несколько грантов по исследованиям по наноэлектронике в сотрудничестве с Сольвееским Институтом и Комиссией Европейского Сообщества по промышленным исследованиям. У нас также есть несколько патентов по оригинальному дизайну квантовых переключателей, которые мы создали с использованием наших явно-решаемых моделей.

Вообще, мы ориентированы на направления современной физики, современной техники и других областей исследования, имеющих дело со сложными системами. Мы нацелены на исследование существенных свойств новых объектов самой различной природы и в типичных ситуациях, в большей степени, чем на обобщениях классических проблем в уже хорошо разработанных ветвях математики или исследовании экзотических специальных случаев классических объектов. Мы полагаем, что современные математические средства могут использоваться с целью создания адекватных моделей сложных систем в естественных науках, технике, экономике и даже в социологии, где исследуются интеллектуальные объекты, демонстрирующие адаптивное поведение.

Краткая история Лаборатории Теории Сложных Систем, в 2003 году переименованной в Лабораторию Квантовых Сетей, началась в 1995, когда она была сформирована при поддержке Нобелевского лауреата И.Р.Пригожина, основателя теории сложных систем, и академика Л.Д.Фаддеева. В течение периода с 1995 по 2000гг. Лаборатория имела обширное сотрудничество с Сольвеевскими Институтами Физики и Химии, возглавляемыми И.Р.Пригожиным (Бельгия); Университетом Стокгольма (Швеция); Университетом Бохума и Университетом Бонна (Германия); Одесским Университетом (Украина); Университетом Окленда (Новая Зеландия); Университетом Бирмингема, Университетом Mиссури в Колумбии и Университетом Фэрбенкса (США), и многими другими Исследовательскими центрами. Это сотрудничество было поддержано несколькими национальными и международными грантами. Сотрудники Лаборатории опубликовали более 150 статей в течение этого периода и разработали такие оригинальные курсы для студентов Физического факультета, как: Явно-решаемые модели в квантовой механике, Явно-решаемые модели в теории рассеяния нескольких частиц, Теория рисков и финансовых производных, Элементы теории сложных систем, Элементы теории солитонов и Квантовая гравитации. В процессе подготовки находится курс по математическому дизайну квантовых наноэлектронных и оптических устройств. Этот курс будет основан на оригинальных исследованиях, которые проводит Лаборатория в этой области.