СПбГУ

Санкт-Петербургский государственный университет

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

                                                   

Примечания

 

К выводу преобразований Лоренца

 

Примечание 1. О линейности преобразований Лоренца

 

В книге В. А. Фока ``Теория пространства, времени и тяготения'', (1961) в Добавлении А на стр. 510—514 показано, что самым общим видом преобразования, переводящим прямую в прямую, является дробно-линейное. Преобразования, которые получаются в этом случае (преобразования Лоренца-Фока), приводят к интересным и необычным свойствам пространства-времени. Так например, точки, бесконечно удаленные друг от друга (в пространстве или во времени) в одной системе отсчета, оказываются на конечных расстояниях в другой системе отсчета. Однако, если ввести дополнительное требование инвариантности бесконечности, преобразование сводится к линейному.

 

Примечание 2. О преобразовании поперечных размеров движущихся тел

 

Рассмотрим, машину, проезжающую в ворота с поперечными размерами, равными поперечным размерам машины. Если предположить, что поперечные размеры движущихся тел уменьшаются, то в системе отсчета, связанной с воротами, машин а проедет, так как ее поперечные размеры стали меньше. В системе отсчета машины меньше стали поперечные размеры ворот, и машина застрянет. Если предположить, что поперечные размеры движущихся тел увеличиваются, то машина застрянет в системе отсчета, связанной с воротами. В любом случае требование равноправия инерциальных систем отсчета приводит к инвариантности поперечных размеров движущихся тел.

 

Примечание 3. Вывод явного вида функции a(u)

 

Явный вид функции a(u) можно получить и не решая сложное функциональное уравнение (L17), если записать преобразование из системы k' в систему k. Оно отличается от преобразования из k в k' заменой u на -u в формулах (L8), (L9):
t=a(u)(t'+ug(u)x'), x=a(u)(x'+ut').
Подставив в правые части этих формул выражения для x', t' из (L8), (L9):, получаем тождественное преобр азование из k в k:
t=a(u)2(1-u2g(u))t, x=a(u)2(1-u2g(u))x, откуда следует равенство (L19).

Примечание 4. О терминологии

 

 В литературе принята терминология — специальная (частная) теория относительности (СТО) и общая теория относительности (ОТО). Следуя В.А.Фоку [1], мы используем термин теория относительности для описания свойств однородного (галилеева) пространства-времени и термин теория тяготения для неоднородного (риманового или эйнштейнова) пространства-времени.

к оглавлению

Следствия из преобразований Лоренца

 

1. Если в одной системе отсчета некоторые события происходят в точках x1 и x2 в один и тот же момент времени t, то в другой системе отсчета эти события происходят в точках x'1 и x'2 в разные моменты времени t'1 и t'2:

Понятие одновременности оказывается зависящим от выбора системы отсчета.

2. Если в одной системе отсчета между двумя событиями, происходящими в одной и той же точке, проходит время t, то в другой системе отсчета между этими же событиями проходит время

Это соотношение выражает релятивистский эффект замедления времени в движущихся объектах.

3. Если в одной системе отсчета покоящаяся линейка имеет длину l, то в системе отсчета, в которой линейка движется со скоростью u вдоль своей оси, ее длина

Этот эффект называется релятивистским сокращением продольных размеров тела. Поперечные размеры тела не изменяются при переходе в другие инерциальные системы отсчета.

4. Если в одной системе отсчета тело имеет скорость = (vx, vy, vz), то его скорость v' = (v'x, v'y, v'z) в другой системе отсчета равна

или в трехмерной векторной форме

5. Из соотношений (n4), (n5) следует постоянство скорости c в различных системах отсчета. Действительно, если вычислить сумму квадратов левых частей этих равенств при условии

v2=(vx)2+(vy) 2+(vz) 2=c2, (n6)

получим

v'2=(v'x)2+ (v'y)2+(v'z) 2=c2. (n7)

Т. е. скорость одинакова по величине во всех инерциальных системах отсчета (независимо от направления). Заметим, что направления скоростей v и v' в общем случае различны в разных системах отсчета.

к оглавлению

Вывод преобразований Лоренца в трехмерном векторном виде

 

Общий вид линейных преобразований

t' = att(u)t+atx(u)x+aty(u)y+atz(u)z,
x' = axt(u)t+axx(u)x+axy(u)y+axz(u)z,
y' = ayt(u)t+ayx(u)x+ayy(u)y+ayz(u)z,
z' = azt(u)t+azx(u)x+azy(u)y+azz(u)z,

можно записать через трехмерные вектора:

t' = a(u)t+b(u)(ur),
r'|| = d(u)ut+e(u)r||,
r'^ =f(u)r^ .
(L3d)
(L4d)
(L5d)

Теперь учтем, что точка r=0 движется со скоростью -u вдоль оси X' в системе k': r'=-ut'.
Из уравнений (L3d), (L4d) следует d(u)= -a(u). Для симмтерии заменим b(u)=-a(u)g(u) 
Аналогично точка r'=0 движется со скоростью u вдоль оси X в системе k: r=ut . Из тех же уравнений следуетe(u)= a(u):

t' = a(u)[t-g(u)(ur)],
r'|| = a(u)[ r|| -ut].
(L8d)
(L9d)

Рассмотрим еще одну инерциальную систему отсчета k'', движущуюся со скоростью u' вдоль оси X' системы k'. Закон преобразования из системы k' в систему k'' должен иметь вид, аналогичный (L8), (L9):

t'' = a(u')[t'-g(u')(u'r')],
r''|| = a(u')[ r'|| -u't'],
r''^ =f(u')r'^ .
(L10d)
(L11d)

(L11pd)

Подставляя в (L10d), (L11d) выражения для r', t' из (L5d), (L8d), (L9d), получаем

С другой стороны, равенства (L12d), (L13d), (L13pd) описывают переход из системы k в систему k', движущуюся вдоль оси X с некоторой скоростью u'':

t'' = a(u'')[t-g(u'')(u''r)],
r''|| = a(u'')[r|| -u''t],
r''^ =f(u'')r^ .
(L14d)
(L15d)
(L15pd)

Из сравнения соотношений (L12d), (L13d) с (L14d), (L15d) следуют равенства

g(u)=g(u')=g=const,
(L16d)
a(u'')=a(u)a(u')(1+uu'g),
(L17d)
u''=(u+u')/(1+uu'g),
(L18d)
f(u'')=f(u)f(u').
(L18pd)

Равенства (L16d), (L17d), (L18d) совпадают с (L16), (L17), (L18), а (L18pd) с учетом (L18d) позволяет сделать вывод, что 0f(u) =1, т. е. поперечные координаты действительно не преобразуются при линейных преобразованиях Лоренца.

Окончательно в векторной форме имеем

Заметим, для полноты, что в формулах (L20d), (L20pd)
r||=u(ru)/u2, r ^=r-u(ru)/u2

к оглавлению

Вывод преобразований Лоренца из принципа относительности

 

Приведем вывод этих преобразований, основанный только на принципе относительности (т. е. на равноправии всех инерциальных систем отсчета).

В этом выводе постулат постоянства скорости света не используется ad hoc, а оказывается следствием принципа относительности.

Обозначим множество всех инерциальных систем отсчета K. Рассмотрим две инерциальные системы отсчета k, k' из K, движущиеся друг относительно друга со скоростью u. Выберем декартовы координаты в этих системах отсчета так, чтобы в начальный момент времени начала коор инат совпадали, а оси были параллельны.

В системе отсчета k моменты времени и координаты вдоль направления u будем обозначать t и x соответственно, в системе отсчета k' — t' и x' .

Оси X и X' направим так, чтобы система k' двигалась со скоростью u относительно системы k вдоль оси X, а система k двигалась со скоростью -u вдоль оси X' системы k' .
Равномерное движение свободной материальной точки со скоростью v в системе k описывается уравнением

а в системе k' — уравнением

Преобразование координат t, x, y, z системы k в координаты t', x', y', z' системы k' должно быть таким, чтобы уравнение (L1) переходило в уравнение (L2). Это означает, что прямая в пространстве r, t должна переходить в прямую в пространстве r', t'.
Таким свойством обладает линейное преобразование. (см. примечание 1) 

t' = att(u)t+atx(u)x+aty(u)y+atz(u)z,
x' = axt(u)t+axx(u)x+axy(u)y+axz(u)z,
y' = ayt(u)t+ayx(u)x+ayy(u)y+ayz(u)z,
z' = azt(u)t+azx(u)x+azy(u)y+azz(u)z,

где величины aij зависят только от скорости относительного движения систем отсчета.
При нашем выборе направления этой скорости вдоль параллельных осей X, X' общий вид линейных преобразований можно упростить:

t' = att(u)t+atx(u)x,
x' = axt(u)t+axx(u)x,
y' = y, z' = y.
(L3)
(L4)
(L5)

Действительно, в силу однородности и изотропности нашего пространства, преобразования вдоль оси X не должны зависеть от значения координат y и z. Сами координаты y и z тоже не должны преобразовываться, иначе поперечные размеры тел будут зависеть от скорости их движения, что приведет к неравноправию различных инерциальных систем отсчета. (см. примечание 2) 

(Для тех, кого эти соображения не убедили, здесь приведен вывод преобразований Лоренца в трехмерной векторной форме)

Найдем явный вид четырех неизвестных функций att(u), atx(u), axt(u), axx(u), опираясь только на принцип относительности и с войства однородности и изотропности нашего пространства-времени.

Повернем оси координат в двух системах отсчета вокруг некоторого направления, перпендикулярного скорости u, на 1800. Это приведет замене x на -x и x' на -x '. Если теперь заменить направление скорости u на противоположное, т. е. на -u, то преобразования (L3), (L4) примут вид

t' = att(-u)t-atx(-u)x,
x' =-axt(-u)t+axx(-u)x
(L6) 
(L7)

Заметим, что произведенные преобразования привели к тому, что система k' движется, как и прежде, вдоль оси X системы k со скоростью u. В силу изотропности нашего пространства (равноправия всех направлений) вид равенств (L3), (L4) не зависит от направления осей X, X' следовательно формулы (L6), (L7) должны совпадать с (L3), (L4).

Это возможно, если функции att(u), axx(u) - четные, а функции axt(u), atx(u) — нечетные.
Теперь учтем, что точка x=0 движется со скоростью -u вдоль оси X' в системе k': x'=-ut'.

Из уравнений (L3), (L4) следует axt(u)= vuatt(u).

Аналогично точка x'=0 движется со скоростью u вдоль оси X в системе k: x=ut. Из тех же уравнений следует axt(u)= -uaxx(u) или a xx(u)= att(u)?a(u). Вводя для симметрии вместо нечетной функции atx(u) четную функцию g(u) по формуле atx(u)= -ua(u)g(u), получаем

t' = a(u)[t-u g(u)x],
x' = a(u)[x -ut].
(L8) 
(L9)

Рассмотрим еще одну инерциальную систему отсчета k'', движущуюся со скоростью u ' вдоль о си X' системы k'. Закон преобразования из системы k' в систему k'' должен иметь вид, аналогичный (L8), (L9):

t'' = a(u')[t'-u' g(u')x'],
x'' = a(u')[x' -u't'].
(L10)
(L11)

 

Подставляя в (L10), (L11) выражения для x', t' из (L8), (L9), получаем

С другой стороны, равенства (L12), (L13) описывают переход из системы k в систему k' , движущуюся вдоль оси X с некоторой скоростью u'':

t'' = a(u'')[t-u'' g(u'')x],
x'' = a(u'')[x -u''t].
(L14)
(L15)

Из сравнения соотношений (L12), (L13) с (L14), (L15) следуют равенства

g(u)=g(u')=g=const, (L16)
a(u'')=a(u)a(u')(1+uu'g), (L17)
u''=(u+u')/(1+uu'g). (L18)

Равенство (L16) вводит некоторую постоянную величину, размерность которой — обратный квадрат скорости. Эта величина одинакова в о всех системах отсчета, и ее численное значение не может быть выведено из каких-либо общих принципов. Экспериментальное значение этой величины g=c-2 , где c — скорость света в вакууме. В классической нерелятивистской механике g=0.

Равенство (L17) — функциональное уравнение, из которого (с учетом (L18)) можно определить вид неизвестной функции a(u) (см. примечание 3):

Равенство (L18) определяет закон сложения скоростей для движений вдоль оси X:
u' - скорость движения точки вдоль оси X' в системе отсчета k',
u — скорость движения системы k' вдоль оси X в системе от счета k, 
u'' — скорость движения точки вдоль оси X в системе отсчета k .

Важное свойство этого закона:
если u', то u'';
если u'=c, то u''=c;
если u'>c, то u''>c.

Следовательно, если скорость частицы (или электромагнитной волны) равна c в одной системе отсчета, то она одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Итак, мы вывели соотношения (*) из принципа относительности и получили следствием постоянство скорости c во всех инерциальных системах отсчета. Важно отметить принципиальное отличие данного подхода к выводу преобразований Лоренца от общепринятого. Постоянство скорости света во всех инерциальных системах отсчета — это экспериментальный факт, установленный с определенной степенью точности. Приведенный выше вывод не опирается на этот факт, из него следует только существование скорости, одинаковой во всех инерциальных системах отсчета.

Из преобразований Лоренца можно получить интересные следствия.

к оглавлению

Постоянство скорости света - следствие преобразований Лоренца

 

В основе теории относительности лежит известный и в ньютоновской механике принцип равноправия инерциальных систем отсчета. Этот принцип был распространен на все физические явления, включая электромагнитные.

Новым в релятивистской физике стал постулат постоянства скорости света в вакууме c во всех инерциальных системах отсчета и ее независимость от скоростей источника и приемника излучения. Этот постулат противоречит классическому закону сложения скоростей.
Принцип и постулат теории относительности позволили вывести законы преобразования физических величин при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, отличные от классических.

Наблюдатель в одной инерциальной системе отсчета описывает событие, произошедшее в точке с координатами x, y, z в момент времени t. В другой инерциальной системе, движущейся со скоростью u вдоль оси X относительно первой, это же событие наблюдается в точке с координатами x’, y’, z’ в момент времени t’. Связь этих координат и моментов времени определяется преобразованиями Лоренца:

к оглавлению

Литература

  1. В. А. Фок, Теория пространства, времени и тяготения. Из д. 2-е, дополненное. — М, Физматгиз. 1961. 564 с. — (The theory of space, time and gravitation. 2nd revised edition.) Pergamon Press, Oxford, London, New York, Paris, 1964, XII, 448 p. 
  2. W.von Ignatowsky, Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativit?tsprinzip, Phys. Z. , 20, 972, (1910)
  3. W. von Ignatowsky, Arch. Math. Phys. (Leipzig) 17, 1 (1910)
  4. P. Frank and H. Rothe, Ann. Phys. Lpz 34, 825 (1911)
  5. E. Hahn, Arch. Math. Phys., 21, 1, (1913)
  6. F. Severi, Rend. Regia Acc. Lincei 1924 and Cinquant’anni di relativita’, Sansoni ed., Firenze, 1955 
  7. C. Cattaneo, Rend. Acc. Lincei, 24, 256, (1958)
  8. R. Weinstock, Am. J. Phys. 33, 640, (1965)
  9. V. Mitvalsky, Am. J. Phys. 34, 825 (1966)
  10. Я. П. Терлецкий, Парадоксы теории относительности, (М., 1966)
  11. L. J. Eisenberg, Am. J. Phys. 35, 649 (1967)
  12. V. Berzi and V. Gorini J. Math. Phys. 10, 1518 (1969)
  13. M. Di Jorio, N. Cim. B22, 70 (1974)
  14. R. Lee and T. M. Kalotas, Lorentz transformation from the first postulate, Am. J. Phys. 43, 434—437 (1975);
  15. J. M. Levy-Leblond, One more derivation of the Lorentz transformation, ibid. 44, 271—277 (1976)
  16. Jean-Marc Levy-Leblond and Jean Pierre Provost, Am. J. Phys. 47, 12, (1979)
  17. A. M. Srivastava, Am. J. Phys. 49, 504 (1981)
  18. N. D. Mermin, Relativity without light, Am. J. Phys, 52, 119—124 (1984);
  19. H. M. Schwartz, Am. J. Phys. 53, 1007 (1985)
  20. Sardar Singh, Lorentz transformations in Mermin’s relativity without light, ibid. 54, 183—184 (1986);
  21. W. Ross, Am. J. Phys. 55, 174 (1987)
  22. B. Preziosi, N. Cim. 109 B, 1331, (1994)
  23. Achin Sen, How Galileo could have derived the special theory of relativity, ibid. 62, 157—162 (1994).
  24. A. Friedmann, Uber die Krummung des Raums . FS. f. Phys. 10, 377 (1922)
  25. В. А. Фок, Исследования В. С. Игнатовского. Связь между геометрической и волновой оптикой и диффракция гомоцентрического пучка. Диффракция объектива при любом отверстии. (Новое изложение). (Work by V. S. Ignatovsky. Connection between geometric and wave optics and diffraction of a homocentric ray. Diffraction of an objective at any aperture. (New account)). — Труды ГОИ, 1924, т. 3, вып.27, с. 1—51.
  26. Д. Д. Иваненко, Эпоха Гамова глазами современника. В книге Дж. Гамов, Моя мировая линия, с.231—293 (М., 1994)
  27. A. Einstein et al, The Principle of Relativity, III section 5, p 50 «On the Electrodynamics of Moving Bodies» (originally 1905) (Dover, New York, 1923).
  28. A. Einstein, The Meaning of Relativity, p 54 «The General Theory of Relativity» (Princeton University Press, Princeton NJ, 1922).
  29. A. Albrecht, A time varying speed of light as a solution of cosmological puzzels,astro-ph/9811018 
  30. J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, (Wiley, New York, 1975).
  31. C. W. Misner, K. S. Thorne, and J. A. Wheeler, Gravitation (Freeman, New York, 1973).
  32. W. deSitter, «A proof of the constancy of the velocity of light», Koninklijke Akademie van Wetenschappen 15 (2) 1297—8 (1913).
  33. W. deSitter, «On the constancy of the velocity of light», Koninklijke Akademie van Wetenschappen 16 (1) 395—6 (1913).

Подкатегории

Ответственный за содержание: специалист управления по связям с общественностью С. С. Смирнова, s.s.smirnova@spbu.ru

Поиск