СПбГУ

Санкт-Петербургский государственный университет

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

                                                   

А.С. Чирцов: Квантовая теория атомных и молекулярных спектров

 

Содержание:

  • Введение: Квантовомеханическое описание системы «многоэлектронный атом + электрон»

  • Раздел 1: Одноэлектронные волновые функции многоэлектронных атомов

    В данном разделе рассматриваются методы построения волновых функций одного электрона в эффективном центрально — симметричном электростатическом поле, создаваемым атомным ядром и оставшимися электронами

    На основе краткого рассмотрения атома водорода и сходных с ним ионов в рамках первой квантовой теории Бора вводится используемая в дальнейшем атомная система единиц

    В результате решения уравнения Шредингера строится семейство простейших сферически симметричных волновых функций электрона в кулоновском поле, соответствующихs-состояниям.

    Построенные сферически симметричные решения, отвечающиеs-состояниямэлектрона в атоме водорода не полностью соответствуют реальной ситуациииз-затого, что электрон обладает внутренней степенью свободы, называемой спином..

    Спиновое состояние атома водорода с s-электрономопределяется не только спином электрона, но и спиновым состоянием ядра. В результате сложения двух спинов 1/2 атом вцелом может вести себя либо как бесспиновая частица, либо как частица с единичным спином.

    Проделанная в лекции 4 работа по построению квантовомеханического описания поведения частицы с целым спином имеет прямое отношение к проблеме построения зависящих от углов одноэлектронных волновых функций атома водорода. Это обусловлено тем, что операторы поворота тесно связаны с оператором момента количества движения, входящим в уравнение Шредингера.

    При нахождении волновых функций многоэлектронных атомов необходим учет взаимодействий электронов не только с неподвижным ядром, но и друг с другом. Указанная задача может быть приближенно решена путем введения эффективного потенциала для каждого электрона и его поэтапного уточнения в рамках метода методом последовательных приближений
  • Раздел 2: Фотоны. Теория излучения

    Рассмотренные в Разделе 1 основные результаты квантовомеханической теории атома водорода получили блестящее подтверждение при изучении их спектров излучения. Однако для сопоставления теории с такого рода экспериментами необходима теория излучения света атомами. Указанная теория не может быть построена в рамках «классической» (нерелятивистской) квантовой механики и требует дополнительных идей, на базе которых осуществляется синтез квантовомеханического и релятивистского подходов

    Релятивистски инвариантные по своей природе уравнения Максвелла для электромагнитного поля в пустом пространстве могут быть записаны в форме, формально совпадающей с уравнениями классического осциллятора. Разработанная в рамках нерелятивистской теории техника квантования осциллятора естественным образом переносится на квантование записанных в аналогичной форме релятивистских уравнений электромагнитного поля.

    Представляющее собой бесконечную совокупность соответствующих каждой моде излучения полевых осцилляторов электромагнитное поле можно приближенно трактовать как совокупность фотонов — ультрарелятивистских частиц, обладающих определенной энергией, импульсом и поляризацией (спином). Рождение и уничтожение фотонов в какой либо моде соответствует переходу соответствующего полевого осциллятора из одного энергетического состояния в другое

    В предыдущих разделах были построены волновые функции состояний невзаимодействующих атома и поля. Наступает следующий этап: учет взаимодействия между ними в рамках теории возмущений

    Общие выражения для вероятности излучения и поглощения фотонов атомами существенно упрощаются в случае излучающих систем, размеры которых существенно меньше длины волны излучения

    Объясняемая в рамках классической физики конечностью времен излучения атомом затухающей последовательности колебаний естественная ширина спектральной лини на языке квантовой электродинамики может быть описана как результат учета второго порядка теории возмущений

    Для учета релятивистских и спиновых эффектов необходимо обобщить классическое уравнение Шредингера для электрона в атоме на случай движения со скоростями, сравнимыми со скоростью света. Предложенный Дираком вариант такого обобщения оказался весьма плодотворным

    Учет с помощью уравнения Дирака релятивистских поправок для электрона в электромагнитном поле позволяет получить прекрасное соответствие между теоретическими результатами и данными эксперимента для простейшего атома

Тонкая структура уровней атома водорода

 

14.1. Переход в уравнении Дирака к шредингеровской волновой функции

Для расчета релятивистских поправок к энергиям уровней атома водорода, рассчитанных в рамках классической квантовой механики, удобно использовать приближенную форму уравнения Дирака, получающуюся в результате разложения релятивистски инвариантного уравнения по степеням 1/с.

Обратный переход от четырехкомпонентной волновой функции к «Шредингеровско подобной» может быть осуществлен за счет перенормировки компоненты-столбца Y +, в ходе которой необходимо сохранить только слагаемые, дающие в окончательном ответе слагаемые, порядок которых не меньше, чем 1/c2. Для этого в исходном уравнении Дирака (13.27) должны быть опущены все слагаемые, содержащие векторный потенциал (14.1). Для выделения главной части волновой функции удобно исключить энергию покоя из фазового множителя одной из компонент волновой функции (14.2). При соответствующем выборе фазового множителя отвечающая антисимметричной линейной комбинации волновая функция оказывается существенно меньшей, чем симметричная комбинация и при этом весьма просто выражается через нее (14.3).

Малость антисимметричной компоненты позволяет рассматривать только симметричную часть волновой функции, перенормировав ее таким образом, чтобы при этом с выбранной точностью был учтен вклад антисимметричной части (14.4). В результате оказывается, что в качестве решения уравнения Дирака можно использовать волновую функцию «стандартного Шрегиндеровского вида».

(14.1)

Приближенная запись уравнений Дирака, в которой опущены слагаемые с векторным потенциалом.

(14.2)

Фазовое преобразование дираковских волновых функций.

(14.3)

Приближенное выражение для малой антисимметричной добавки.

(14.4)

Условие нормировки дираковской волновой функции и ее приближенного разложения..

(14.5)

Окончательное правило перенормировки дираковских волновых функций для представления их в шредингеровской форме.

 

14.2. Разложение уравнения Дирака по степеням a =1/с

Уравнение Дирака может быть представлено в форме, сходной со стандартным уравнением Шредингера, если все входящие в систему (14.2) слагаемые разложить по степеням a (14.6—14.7) и перейти в соответствии с ранее полученным соотношением (14.5) к шредингеровской волновой функции (14.8 — 14.9). Использование достаточно простых операторных тождеств (14.10) позволяет получить окончательное выражение для релятивистского гамильтониана для электрона в атоме.(14.11). Послднее отличается от классического тремя слагаемыми, выяснению физического смысла которых посвящен следующий пункт.

 

(14.6)

Приближенное представление антисимметричной компоненты волновой функции.

(14.7)

Результат подстановки (14.6) в уравнение для симметричной компоненты.

(14.8)

Результат замены симметричной компоненты волновой функции на шредингеровскую в соответствии с соотношением (14.5).

(14.9)

Следствие уравнения (14.8).

(14.10)

Операторные тождества.

(14.11)

Окончательное выражение для релятивистского гамильтониана.

 

14.3. Физический смысл дополнительных слагаемых

Выяснение «физического смысла» выражений, возникающих как следствие носящего наиболее фундаментальный характер уравнения Дирака,по-видимому, состоит в получении их классических аналогов. Так первая поправка к оператору Гамильтона (14.11) соответствует учету наличия зависимости релятивистской массы частицы от скорости, о чем свидетельствует полное сходство оператора с третьим слагаемым разложения в ряд Тейлора классического выражения для релятивистской энергии (14.12).

Для выяснения физического смысла второго поправочного слагаемого достаточно рассчитать классическое выражение для добавки к энергии атома за счет взаимодействия обусловленного спином магнитного момента электрона с магнитным полем, создаваемым движущимся относительно электрона положительно заряженным ядром (14.13). Указанное взаимодействие носит название спин-орбитального и играет доминирующую роль в формировании тонкой структуры спектральных линий. Получаемое из классических соображений выражение оказывается полностью соответствующим добавке к оператору Гамильтона (14.14), если в качестве гиромагнитного отношения в случае спина использовать классическое выражение, получаемое для магнитного момента равномерно заряженного по объему вращающегося сферического тела. Следует повторно напомнить о том, что в задаче о поведении электрона во внешнем магнитном поле спиновое гиромагнитное отношение оказывалось в два раза большим по сравнению с классическим выражением.

Что же касается последнего слагаемого, то оно в соответствии с уравнением Пуассона оказывается отличным от нуля только дляs-состоянийэлектрона в атоме. Это слагаемое компенсирует расходимости, возникающие в выражении для спин-орбитального взаимодействия в случае его применения к вычислению энергий s-состояний атома.

(14.12)

Релятивистское выражение для кинетической энергии тела, «объясняющее» смысл первой поправки к классическому гамильтониану.

 

(14.13)

Классическое выражение для добавочной энергии взаимодействия спинового магнитного момента электрона с магнитным полем, создаваемым эффективным движением ядра.

(14.14)

Оператор поправки к энергии за счет спин-орбитального взаимодействия.

 

14.4. Тонкая структура уровней атома водорода.

В случае атома водорода оба поправочных эффекта (зависимость релятивистской массы от скорости и спин-орбитальное взаимодействие) имеют одинаковый порядок малости и, следовательно, должны рассматриваться одновременно.

Для вычисления матричного элемента четвертой степени оператора импульса могут быть использованы волновые функции электрона в атоме водорода, полученные в нерелятивистском приближении (14.15). Входящие в выражение для поправки матричные элементы от оператора потенциальной энергии (14.16) могу быть вычислены в явном виде с использованием аналитических выражений для волновых функций электрона в атоме водорода (14.17). Результирующая поправка к энергии (14.18) оказывается зависящей от главного и орбитального квантовых чисел.

Матричные элементы оператора спин-орбитального взаимодействия на ранее построенных волновых функциях невзаимодействующих орбитального и спинового моментов имеют недиагональные элементы, возникновение которых обусловлено недиагональностью матриц входящих в выражение для них x- и y- проекций операторов орбитального и спинового моментов (14.19). Т.о. состояния с определенными значениями орбитального и спинового моментов электрона из-за спин-орбитального взаимодействия перестают сохраняться во времени.

Для построения сохраняющихся во времени состояний следует с помощью аппарата3j-символов(14.20) перейти от состояний с определенными орбитальным и спиновым моментами и их проекциями к новым состояниям с определенными суммарным моментом и егоz-проекцией. Для таких состояний матрица оператора спин-орбитального взаимодействия оказывается диагональной, в чем легко убедиться, представив входящее в оператор скалярное произведение орбитального и спинового момента через квадраты операторов моментов (14.21). Т.о. на состояниях нового базиса оператор спин-орбитального взаимодействия имеет только диагональные элементы, которые в случае атома водорода вычисляются до конца в аналитическом виде (14.22).

В новом базисе, по существу представляющем линейную комбинацию состояний старого базиса, матрица оператора релятивистской поправки сохраняется диагональной. Т.о. включение в классический гамильтониан обоих поправочных релятивистских слагаемых приводит к тому, что состояния с определенными орбитальным и спиновым моментами перестают сохраняться во времени, а состояние с определенным полным моментом и его z-проекциейоказывается стационарным. В соответствии с общим правилом сложения моментов орбитальный момент может отличаться от полного лишь на + 1/2. Непосредственные вычисления показывают, что в каждом из двух упомянутых случаев для поправки к энергии за счет релятивистских и спиновых эффектов получается одно и тоже выражение (14.33), не зависящее от квантового числа l. Т.о. в случае атома водорода имеет место специфическое вырождение уровней тонкой структуры по орбитальному квантовому числу. Это вырождение снимается более тонким эффектом — лэмбовским сдвигом..

(14.15)

Волновые функции для нерелятивистского электрона в атоме водорода.

(14.16)

Вычисление матричного элемента для поправки к энергиииз-зарелятивистской зависимости массы от скорости.

(14.17)

Матричные элементы от функций оператора потенциальной энергии.

(14.18)

Поправка к энергии, обусловленная зависимостью релятивистской массы от скорости.

(14.19)

Разложение оператора спин-орбитального взаимодействия по проекциям операторов орбитального и спинового моментов на координатные оси.

(14.20)

Переход к состояниям с определенным суммарным моментом и егоz-проекцтей.

(14.21)

Выражение скалярного произведения операторов орбитального и спинового моментов через квадраты операторов моментов.

(14.22)

Явные выражения для диагональных элементов оператора спин-орбитального взаимодействия в атоме водорода.

(14.23)

Тонкая структура термов в атоме водорода.

Релятивистские обобщения уравнения Шредингера

 

13.1. Функция Лагранжа для неквантовой релятивистский частицы в электромагнитном поле

Основная идея полученhия релятивистски инвариантного квантовомеханического уравнения для электрона состоит в замене в классической (неквантовой) функции Гамильтона соответствующих физическим величинам переменных на операторы. Для реализации намеченной программы в качестве отправной точки может быть использовано хорошо известное выражение для релятивистской функции Лагранжа (13.1). Для проверки правильности выбора этой функции полезно получить с ее помощью релятивистское уравнение движения заряда в электромагнитном поле (13.2). Как известно из курса теоретической механики, уравнение движения получается в результате подстановки функции Лагранжа в систему уравнений (13.3). Простые, но несколько громоздкие математические выкладки (13.5) приводят к хорошо известному из классической (неквантовой) релятивистской электродинамики выражению для скорости изменения импульса заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле (13.6) и получить известное выражение для соответствующей функции Гамильтона (13.7).

 

(13.1)

Функция Лагранжа для релятивистской заряженной частицы в электромагнитном поле.

(13.2)

Уравнение движения релятивистской заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле.

(13.3)

Связь между функцией Лагранжа и уравнением движения.

 

(13.4)

Промежуточные выкладки при получении релятивистского уравнения движения.

(13.5)

Уравнение движения релятивистской частицы во внешнем электромагнитном поле.

(13.6)

Функция Гамильтона для релятивистской неквантовой частицы во внешнем электромагнитном поле.

 

13.2. Уравнение Шредингера

Для перехода от классическому к квантовому описанию достаточно заменить некоторые физические величины на соответствующие операторы (13.7). Для проверки работоспособности указанной идеи целесообразно осуществить указанную замену в функции Гамильтона (13.6), переписанной в нерелятивистском пределе (13.8). В результате получается нерелятивистское уравнение Шредингера, содержащее одно «лишнее» слагаемое, имеющее смысл энергии покоя электрона (13.9). Последнее легко устраняется переопределением уровня отсчета энергии за счет не изменяющего никаких физических результатов домножения всех волновых функций на одинаковый фазовый множитель (13.10).

(13.7)

Способ перехода от классического к квантовому описанию.

(13.8)

Приближенное выражение для функции Гамильтона частицы, движущейся с малыми скоростями.

(13.9)

Нерелятивистское уравнение Шредингера.

(13.10)

Классическое уравнение Шредингера в случае отсутствия магнитного поля.

 

13.3. Уравнение Клейна-Гордана

Переход к операторам в релятивистском уравнении (13.6) затруднен необходимостью выполнять процедуру вычисления корня из оператора. Наиболее естественным выходом из указанной проблемы является возведение в квадрат исходного неквантового уравнения (13.11). Замена физических величин на их операторы по правилу (13.7) приводит к уравнению Клейна-Гордона (13.12). В качестве проверки полученное уравнение может быть протестировано на хорошо известном частном случае ультрарелятивистской частицы с нулевыми зарядом и массой — фотоне. В указанном простейшем случае уравнение Клейна-Гордона сводится к общеизвестному однородному уравнению Д’Аламбера для электромагнитных волн в вакууме (13.13).

 

(13.11)

Исходное уравнение для вывода уравнения Клейна-Гордана.

(13.12)

Уравнение Клейна-Гордона.

(13.13)

Уравнение Д’Аламбера для фотона в вакууме.

 

13.4. Уравнение Паули

Для учета эффектов, связанных со спином электрона, полученное ранее выражение, связывающее оператором момента количества движения с оператором вращения на бесконечно-малый угол системы с целочисленным моментом количества движения (13.14), можно обобщить на случай систем с полу целым (в частном случае s=1/2) моментом импульса (13.15).

Полученные ранее выражения для матриц оператора вращений частицы со спином 1/2 (3.13—3.19) позволяют получить матричные представления для оператора спина (13.16), использующие спиновые матрицы Паули (13.17). Непосредственными вычислениями легко проверяются следующие свойства матриц Паули (13.18).

Паули была предложена модификация нерелятивистского уравнения Шредингера, учитывающего не только эффекты, связанные со взаимодействием с магнитным полем орбитального движения электрона, но и спиновые эффекты (уравнение Паули) (13.19).

 

(13.14)

Связь между оператором бесконечно-малого поворота и оператором момента импульса.

(13.15)

Введение оператора спина для электрона.

(13.16)

Получение связи междуz-проекциейоператора спина и соответствующей спиновой матрицей Паули.

(13.17)

Выражение для оператора спина через спиновые матрицы Паули.

(13.18)

Свойства матриц Паули.

(13.19)

Предложенный Паули вариант обобщения уравнения Шредингера. В случае отсутствия магнитного поля (A=0) уравнение Паули превращается в классическое уравнение Шредингера.

 

13.5. Взаимодействие электрона с внешним магнитным полем

Для помещенного во внешнее магнитное поле атома с одним электроном уравнение Паули предсказывает появление двух добавочных энергий, которые удобно интерпретировать, как результат взаимодействия с полем магнитных дипольных моментов, обусловленных орбитальным и спиновым движениями электрона (13.20). При этом связь орбитального момента с механическим (13.21) оказывается точно соответствующей результатам классических расчетов гиромагнитного отношения (13.22). Что же касается спиновых моментов, то соответствующее гиромагнитное отношение оказывается точно в два раза превосходящим классическое значение.

Наличие в уравнении спиновых матриц Паули (или оператора спина) подразумевает наличие в приведенном операторном равенстве волновой функции в виде столбца из двух компонент, каждая из которых соответствует определенной ориентации спина.

 

(13.20)

Возникновение добавки к энергии атома, помещенного во внешнее магнитное поле.

(13.21)

Связи орбитального и спинового моментов атома с механическими моментами.

(13.22)

Классический расчет орбитального гиромагнитное отношения.

 

13.6. Уравнение Дирака

Уравнение Дирака может быть введено как результат объединения идей, приведших к формулировкам уравнений Клейна-Гордона и Паули. Наличие квадратичных операторных слагаемых делает возможным понизить порядок уравнение за счет введения двух двухкомпонентных волновых функций вместо одной (12.24) или их симметричной и антисимметричной линейных комбинаций (12.25). Объединение двух двухкомпонентных волновых функций в одну четырехкомпонентную позволяет формально придать уравнению Дирака привычный для классической квантовой механики вид линейного уравнения для волновой функции (12.25).

 

 

(13.23)

Предложенный Дираком вариант объединения идей, использованных в уравнениях Клепше-Гордана и Паули.

(13.24)

Понижение степени уравнения Дирака

(13.25)

Результат почленного сложения и вычитания уравнений (13.24)

«»

 

 

(13.26)

 

Формальной сведение системы из двух уравнений к одному за счет увеличения числа компонент волновой функции.

 

(13.27)

 

«Стандартная» формулировка уравнения Дирака

Естественная ширина спектральной линии

 

11.1. Классическая интерпретация

В рамках классической модели квазиупругого электрона (атом Томсона) дипольный момент излучающего атома совершает затухающие во времени гармонические колебания (10.1), скорость затухания которых определятся излучаемой мощностью. В соответствии с классической теорией излучения, обусловленное колебаниями электронного облака электрическое поле так же совершает затухающие во времени колебания (10.2). Спектр таких колебаний представляет собой Лоренцев контур, полуширина которого определяется константой затухания. Поскольку классическое выражение для скорости затухания зависит только от квадрата частоты и фундаментальных физических констант, в рамках классического подхода естественная ширина спектральных линий всех атома на заданной частоте должна быть одинаковой, что не соответствует экспериментальным результатам.

 

(10.1)

Дипольный момент излучающего атома Томсона

(10.2)

Цуг, излучаемый классическим атомом Томсона

(10.3)

Спектр цуга затухающих колебаний.

 

11.2. Квазистационарные состояния

Выражение для амплитуды перехода в первом порядке теории возмущений (10.4) было получено в предположении стремления к нулю всех амплитуд за исключением амплитуды нахождения системы в начальном состоянии. После получения первого приближения теории возмущений представляется разумным подставить в общее выражение для амплитуды перехода уточненный вид волновой функции начального (верхнего) состояния (10.5), к которому подмешиваются«конечные состояния с амплитудами, вычисленными в первом приближении. Проблема подстановки такой уточненной волновой функции в выражение для вероятности перехода состоит в том, что это выражение получалось в предположении стационарности исходного состояния, т. е. его зависимости от времени по гармоническому закону. Волновая же функция (10.5) этим свойством не обладает. Попытаемся так переопределить энергию исходного состояния (10.6), чтобы его волновая функция могла (хотя бы формально) считаться стационарной и удовлетворять стационарному уравнению Шредингера (10.7). Требуемые поправки энергии легко найти, приравнивая слагаемые одного порядка малости. Первая поправка отсутствует в силу ортогональности состояний нулевого приближения и правила отбора по четности для матричных элементов оператора дипольного момента (10.8). Вторая поправка (10.9) дает искомое выражение. В конкретном случае двухуровневого атома суммирование сводится к взятию интеграла по всевозможным состояниям рожденного фотона (энергиям, направлениям излучения, поляризациям) (10.10).

Подстановка (10.4) в (10.10) приводит к интегралу, вычисляемому по вычетам, полюс подынтегрального выражения которого лежит на контуре обхода (10.11). В результате оказывается, что поправка к энергии является чисто комплексной и с точностью до численных множителей совпадает с выражением для вероятности перехода в единицу времени.

 

(10.4)

Амплитуда перехода в первом порядке теории возмущений.

(10.5)

Уточненное выражение для волновой функции исходного состояния.

(10.6)

Формальная запись уточненной функции в виде волновой функции стационароного состояния.

(10.7)

Уравнение Шредингера для уточненной волновой функции

(10.8)

Поправка к энергии первого порядка

(10.9)

Поправка к энергии второго порядка

(10.10)

Конкретный вид поправки при решении задачи в двухуровневом приближении.

(10.11)

Окончательный расчет поправки к энергии.

 

11.3. Состояния с комплексной энергией (квазистационарные состояния).

Естественным обобщением полученного в двухуровневом приближении выражения (10.11) для поправки энергии является его замена на суму по сем конечным атомным уровням, на которые возможен радиационный переход (10.12). Получившаяся комплексное выражение для энергии имеет простой физический смысл: если система обладает способностью к спонтанному распаду из исходного состояния, то вероятность ее обнаружить в этом состоянии спадает во времени по экспоненциальному закону (10.13). Именно так и должен вести себя система при спонтанном распаде. Разумеется, нижнее состояние радиационного перехода так же является квазистационарным, если имеются другие атомные уровни, на которые возможен распад этого состояния.

 

(10.12)

Энергия квазистационарного состояния.

(10.13)

Спонтанный распад квазистационарного состояния

 

11.4. Естественное уширение спектральных линий

Подстановка квазистационарных состояний в выражение для амплитуды перехода (10.4) приводит к выражению (10.14) . Его интегрирование уже не приводит к появлению дельта-функции (10.15), что означает излучение света со спектром конечной ширины (10.16).

 

(10.15)

Уточненное уравнение для амплитуды перехода между двумя квазистационарными состояниями

(10.16)

Амплитуда перехода с излучением фотонов между квазистационарными состояниями.

(10.17)

Контур спектральной линии

Электрическое дипольное излучение

 

Электрическое дипольное излучение

10.1. Классическое рассмотрение

В рамках классической электродинамики электрическая составляющая поля в волновой зоне излучения атома Томсона, совершающего гармонические колебания, оказывается пропорциональной амплитуде его дипольного момента (10.1). Величина соответствующего вектора Пойтинга оказывается пропорциональной квадрата синуса угла между направлением колебаний излучающего атома и направлением на наблюдателя (10.2). Полная мощность, излучаемая атомом Томсона во всех направлениях, получается в результате интегрирования (10.2) по поверхности окружающей излучатель сферы большого радиуса (10.3). В случае излучающего ротатора излучение может рассматриваться как результат совместного излучения двух осцилляторов, совершающих гармонические колебания во взаимно перпендикулярных направлениях (10.4), при этом выражение для суммарной излучаемой мощность оказывается таким же, как и в случае линейного осциллятора.

 

(10.1)

Дипольное излучение классического атома Томсона.

(10.2)

Плотность потока энергии излучения атома Томсона

(10.3)

Полная мощность излучения атома Томсона (Q0 — амплитудное значения обобщенной координаты).

(10.4)

Плотность потока энергии излучения классическим ротатором.

 

10.2. Квантовомеханическое рассмотрение

Выражение для вероятности спонтанного излучения фотона в элемент телесного угла (10.5) существенно упрощается в случае излучения системой зарядов, размеры которой существенно меньше длины волны. Поскольку входящее в процедуру вычисления матричного элемента (10.5) интегрирование по пространственным координатам осуществляется в области, где волновые функции электронов существенно отличны от нуля, входящий в выражение экспоненциальный множитель может быть разложен в ряд Тейлора (10.6) с сохранением только первого слагаемого (10.7). Вычисление матричного элемента оператора импульса сводится к расчету матричного элемента векторного оператора дипольного момента. В связи с тем, что полученный в самом грубом приближении матричный элемент содержит оператор дипольного момента, соответствующее излучение называют дипольным. Последний оказывается удобно представить в виде разложения по круговым ортам. Как было показано ранее, каждая из проекций векторного оператора на круговые орты ведет себя при вращениях системы координат подобно одной из трех шаровых функций первого порядка. Подстановка упрощенного выражения для матричного элемента в общую формулу (10.5) для вероятности излучения фотона приводит к соотношению (10.8), выражающему вероятность дипольного излучения.

 

(10.5)

Вероятность спонтанного излучения фотона в бесконечно-малый телесный угол.

(10.6)

Приближение, связанное с малостью размеров атома по сравнению с длиной волны.

(10.7)

Матричный элемент оператора импульса

(10.8)

Вероятность излучения спонтанного дипольного фотона заданной поляризации в заданном направлении.

 

10.3. Теорема Вигнера-Эккарта

Процедура вычисления входящих в (10.8) матричных элементов может быть существенно упрощена и сведена к процедуре вычисления однократного интеграла от произведения радиальных волновых функций начального и конечного состояний оптического электрона (10.9). По существу сформулированное утверждение и составляет теорему Вигнера-Эккарта, существенно упрощающую нахождение матричных элементов типа (10.7). Упрощение состоит в том, что угловые зависимости начального и конечного состояний атома, а так же — компонент векторного оператора даются известными шаровыми функциями, интегралы от произведений которых могут быть вычислены и содержатся в справочных таблицах. Для вычисления интеграла по углам от произведения шаровых функций оказывается удобным разложить соответствующую конечному состоянию шаровую функцию по базису, образованному произведениями шаровых функций исходного состояния и функции, описывающей угловую зависимость оператора (10.10). Подстановка этого разложения в выражение для матричного элемента оператора дипольного момента с учетом ортогональности состояний с различными угловыми моментами и их проекциями сводит вычисление интеграла по углам к отысканию табличного значения 3j — символа (10.11). Т.о. для нахождения матричного элемента от любой проекции оператора дипольного момента на циркулярные орты оказывается достаточным вычислить лишь один одномерный интеграл по расстояниям, называемый приведенным матричным элементом.

В общем случае входящий в состав матричного элемента оператор может быть разложен по шаровым функциям. Для каждого члена такого разложения матричный элемент вычисляется с помощью теоремы Вигнера-Эккарта (10.12).

 

 

(10.9)

Разделение переменных при вычислении интеграла, соответствующего матричному элементу оператора

c — составляющей вектора дипольного момента.

(10.10)

Разложение угловой части волновой функции конечного состояния по базису из произведений шаровых функций

(10.11)

Вычисление интеграла по углам при помощи 3j — символов.

 

(10.12)

 

Теорема Вигнера-Эккарта

 

10.4. Правила отбора при дипольном излучении

Теорема Вигнера-Эккарта позволяет выразить вероятность спонтанного перехода, сопровождающегося дипольным излучением (10.8) через приведенный матричный элемент и 3j-символы(10.13). Полученное соотношение позволяет сформулировать правила отбора для переходов, сопровождающихся дипольным излучением, т. е. условия, выполнение которых необходимо для отличия от нуля матричного элемента оператора дипольного момента.

3j — символ отличен от нуля в случае, когда оказывается осуществимой соответствующая его индексам схема сложения моментов (10.14). помимо правил отбора по угловому моменту существует правило отбора по четности. Происхождение этого правила отбора связано с тем, что в случае электромагнитных взаимодействий инверсия системы координат не должна приводить к изменению вероятности перехода. В свою очередь это означает. Это означает, что четность начального и конечного состояний должна быть различной: в этом случае инверсия координат изменяет знак произведения волновых функций, что компенсирует изменение знака вектора дипольного момента.

Сформулированные правила отбора означают, что излучаемый спонтанный фотон должен иметь отрицательную четность и уносить с собой единичный момент количества движения. Именно фотонам с такими свойствами в приведенной на лекции классификации соответствует электрический дипольный фотон.

 

(10.13)

Выражение для вероятности спонтанного радиационного перехода с излучением света заданной поляризации в заданном направлении.

(10.14)

 

Правила отбора по угловому моменту

 

10.5. Угловое распределение излучения

Для анализа углового распределения дипольного излучения удобно воспользоваться той же системой координат, в которой производилось разложение оператора дипольного момента по циркулярным ортам. В этой системе для излучения, распространяющегося вдоль направления, составляющего угол J с ортом e0, допустимы два взаимно ортогональных (и ортогональных направлению распространения света) направления поляризации. Один из возможных ортов, задающих направление поляризации, удобно направить вдоль оси Х (10.15), при этом другой орт будет лежать в плоскости (YOZ).

Согласно правилам отбора возможны оптические дипольные переходы между состояниями, магнитные квантовые числа которых различаются не более, чем на 1. Переходы между состояниями с одинаковыми значениями магнитных квантовых чисел описываются 3j — символом с c =0. В результате такого перехода возникает так называемое p - излучение, вероятность появления фотона которого дается соотношением (10.16), согласующимся с классическим выражением (10.2) для углового распределения интенсивности излучения осциллятора, совершающего колебания вдоль оси  Z.

Излучение, возникающее при переходе между состояниями с D M=+ 1 , называют соответственно s + и s -. Для таких переходов оказываются отличными от нуля 3j — символы с c =+ 1. Соответствующие скалярные произведения ортов поляризации и сферических компонент оператора дипольного момента дают угловую зависимость вероятности излучения (10.17), полностью соответствующую диаграмме направленности ротатора (10.4).

Полная вероятность перехода (10.18) вычисляется в результате интегрирования выражений для углового распределения вероятностей по углам и суммирования полученных полных вероятностей p и s излучений.

 

(10.15)

Два орта линейной поляризации в случае излучения, распространяющегося под углом

J к оси Z. 

(10.16)

Угловое распределение

p — излучения .

(10.17)

Угловое распределение

s — излучения.

(10.18)

Вероятность спонтанного излучения на все возможные магнитные подуровни нижнего состояния.

 

10.6. Сила осциллятора и сила линии перехода

Силой линии перехода называют квадрат приведенного матричного элемента оператора дипольного момента (10.19). указанная величина весьма удобна при сравнении теоретических и экспериментальных результатов, поскольку с одной стороны содержит только радиальные интегралы от произведений теоретически определяемых радиальных частей волновых функций уровней перехода, с другой — позволяют легко вычислять определяемые на эксперименте вероятностные характеристики радиационных переходов. Одной из важнейших характеристик перехода является сила осциллятора (10.20).

(10.19)

 

(10.20)

 

Испускание и поглощение фотонов атомами

 

9.1. Оператор взаимодействия системы электрических зарядов с электромагнитным полем

В классической электродинамике энергия взаимодействия зарядов с электромагнитным полем может выть выражена в виде скалярного произведения четырехвекторов плотности тока и потенциала (9.1), а с учетом выбранной калибровки Лоренца — через скалярное произведение трехмерных векторов плотности тока и векторного потенциала. По аналогии с классическим выражением вводится оператор взаимодействия с внешним полем, который, очевидно, выражается через операторы рождения и уничтожения (9.2). Оператор взаимодействия разбивается на бесконечную сумму независящих друг от друга операторов, соответствующих взаимодействия с каждой модой излучения. Для каждой из мод существует сумма из двух операторов, соответствующих рождению и уничтожению фотона. В качестве состояний нулевого приближения выбираются произведения состояний невзаимодействующих подсистем (9.3). На этих состояниях матричные элементы рождения и уничтожения фотона в каждой из мод имеют вид (9.4). Для получения формул для вероятности перехода с излучением или поглощением следует воспользоваться стандартным методом теории возмущений.

 

(9.1)

Классическое выражение для энергии системы зарядов во внешнем электромагнитном поле (калибровка Лоренца)

(9.2)

Оператор возмущения, описывающий взаимодействие внешнего электромагнитного поля с системой зарядов

(9.3)

Волновые функция системы без учета взаимодействия

(9.4)

Ненулевые матричные элементы операторов рождения и уничтожения в каждой моде.

 

9.2. Теория возмущений (первый порядок)

Состояние системы при наличии взаимодействия между зарядами полем может быть разложено по стационарным состояниям (9.3) нулевого приближения (9.5).В рамках адиабатического приближения принято считать, что при t=-? система находилась в состоянии |n>, а взаимодействие между ее подсистемами отсутствовало (9.6). Подстановка разложения (9.5) в нестационарное уравнение Шредингера легко приводит к системе дифференциальных уравнений для зависящих от времени коэффициентов разложения (9.7), решение которой с начальными условиями (9.6) не представляет труда в случае слабого возмущения, обуславливающего малость всех зависящих от времени коэффициентов за исключением амплитуды нахождения в исходном состоянии (9.8). Согласно общим правилам квантовой механики, вероятность перехода в состояние q дается квадратом модуля амплитуды и оказывается пропорциональной времени (9.9), что позволяет ввести вероятность перехода в единицу времени (9.10). В случае конечного состояния с непрерывном спектром вводится вероятность перехода в бесконечно малый интервал dm (9.11).

 

(9.5)

Разложение состояний системы с взаимодействием по стационарным состояниям0-приближения.

(9.6)

Исходное состояние системы.

(9.7)

Система уравнений для зависящих от времени амплитуд переходов с излучением и поглощением.

(9.8)

Приближенное решение системы (9.7)

(9.9)

Вероятность перехода в состояние q к моменту времени t.

(9.10)

Вероятность перехода в состояние q в единицу времени.

(9.11)

Вероятность перехода в единицу времени в состояние с непрерывным спектом.

9.3. Вероятности переходов с излучением и поглощением света

В случае переходов между состояниями атомов с излучением света конечное состояние принадлежит к непрерывному спектру, что соответствует бесконечному числу направлений и частот излучаемого фотона (9.12). С учетом полученного выражения вероятность перехода с излучением фотона в одну выбранную моду оказывается пропорциональной увеличенному на 1 числу фотонов уже имеющихся в этой моде (9.13). Возникшие таким образом два слагаемых (пропорциональное числу имеющихся фотонов и независящее от числа фотонов) принято интерпретировать, как вероятности вынужденного и спонтанного излучения (9.14) Вероятность перехода с поглощением имеет сходный вид с (9.13), но не содержит слагаемого, описывающего спонтанный процесс (9.15).

Выражения, связывающие вероятности излучения и поглощения фотонов, настолько важны для многочисленных приложений, что представляется целесообразным записать из в виде зависимостей от более традиционных для экспериментальной физики величин. Вместо числа заполнения (числа фотонов) удобнее использовать понятие спектральной плотности интенсивности излучения в данной моде, представляющее собой поток энергии электромагнитного излучения заданной поляризации, приходящийся на заданный бесконечно малый интервал частот и распространяющийся в пределах бесконечно малого телесного угла (9.16). Очевидно, что вводимая величина должна быть пропорциональна произведению энергии одного фотона на их число и скорость перемещения в пространстве. При подсчете числа фотонов их концентрация в соответствующей выбранному пространственному направлению моде должна быть умножена на соответствующую плотность числа состояний. В отличии от выражения ранее приведенного выражения (7.12) тем, что учитывает не все состояния заданной энергии, а лишь те, что соответствуют распространению света заданной поляризации в заданном направлении.

Замена числа фотонов спектральной плотностью интенсивности излучения позволяет получить удобное для приложений выражение для связи между вероятностями излучения и поглощения света (9.17).

 

(9.12)

Число состояний, соответствующее излучение фотона в б.м. интервал частот и б.м. телесный угол.

(9.13)

Вероятность перехода между состояниями |n> и |q> с излучением света в заданную моду.

(9.14)

Вероятности спонтанного и идуцированного излучения

(9.15)

Вероятность поглощения света из заданной моды.

(9.16)

Связь спектральной плотности интенсивности излучения в элементарный телесный угол с числом фотонов в соответствующей моде.

(9.17)

Связь между вероятностями вынужденного и спонтанного излучения и поглощения света.

 

9.3. Коэффициенты Эйнштейна

. В случае изотропного излучения более разумной характеристикой является спектральная плотность объемной плотность энергии излучения (9.18), получающаяся из спектральной плотности интенсивности в результате интегрирования по углам и суммированием по поляризациям и, разумеется, делением на скорость распространения энергии в пространстве. Интегрирование по углам выражений для вероятностей излучения (9.17) приводит к широко известному соотношению между полными (просуммированными по направлениям и поляризациям) вероятностями радиационных переходов (9.19). В приведенном выражении так же учтена возможность вырождения атомных уровней (т.е. наличия различных состояний, обладающих одинаковой энергией) путем введения их статистических весов gi.

В силу того, что вероятности индуцированных радиационных переходов пропорциональны интенсивности излучния, оказывается удобным записывать их в виде произведения интенсивностей на независящие от числа фотонов коэффициенты (9.20). Таки образом введенные величины носят название коэффициентов Эйнштейна. Из соотношения (9.19) следует очевидная связь между этими коэффициентами (9.21). Интересно отметить, что классическая (нерелятивистская) квантовая механика оказалась неспособной последовательным образом объяснить природу спонтанного излучения. В рамах этой теории выражение для коэффициента Эйнштейна для спонтанных переходов вводилось феноменологически, исходя из требования возможности термодинамического равновесия между излучением и веществом.

 

(9.18)

Спектральная плотность объемой плотности энергии в случае пространственно изотропного излучения.

(9.19)

Полные (просуммированные по углам и поляризациям) вероятности переходов между верхним |u> и нижним |d> состояниями атома с излучением или поглощением фотона.

(9.20)

Коэффициенты Эйнштейна

(9.21)

Связь между коэффициентами Эйнштейна

 

9.4. Равновесное излучение

Установленная связь между вероятностями спонтанного и вынужденного излучения позволяет легко получить широко известное выражение для распределения по частотам спектральной плотности энергии излучения, находящегося в состоянии термодинамического равновесия с веществом или спектр излучения черного тела. При условии равновесия числа актов поглощения и излучения фотонов атомами в единицу времени должны равняться друг другу (9.22). Указанное соображение совместно с предположением о больцмановском распределении атомов по энергиям позволяет найти количество фотонов в моде, соответствующей энергетическому зазору между атомными уровнями (9.23) и рассчитать зависимость объемной плотности энергии излучения от его частоты (9.24). полученное соотношение, называемое распределением Планка, находится в прекрасном соответствии с экспериментальными данными. Входящий в выражение характерный для статистики Бозе-Эйнштейна множитель можно трактовать, как вероятность обнаружения фотона в состоянии с заданной энергией. Поскольку статистика Бозе-Эйнштейна реализуется для квантовомеханических объектов с целым спином, полученный результат находится в полном соответствии со сделанном в Лекции 7 выводом о наличии у фотона спина, равного 1. 

 

 

 

 

(9.22)

Условие равновесия между излучением и веществом: числа актов излучения и поглощения равны друг другу. ni- концентрация атомов в верхнеи или нижнем энергетическом состоянии.

(9.23)

Число электронов в одной моде равновесного излучения.

(9.24)

Распределение планка для равновесного излучения.

Фотоны

 

 

8.1. Энергия электромагнитного поля

Состояние электромагнитного поля в резонаторе можно задать, перечислив состояния всех соответствующих допустимым модам излучения полевых осцилляторов (8.1). Независимость друг от друга полевых осцилляторов позволяет представить состояние всего электромагнитного поля в виде произведения состояний каждой его моды. Полная энергия оказывается равной сумме энергий, находящихся в каждой из мод (8.2). Энергия каждой моды может принимать дискретные значения, отстоящие друг от друга на величину, равную энергии планковского кванта (8.3). Это свойство позволяет формально сопоставить каждому состоянию полевого осциллятора набор частиц, каждая из которых обладает энергией (8.3), число которых равно номеру этого состояния. Такие частицы принято называть фотонами.

Определенные трудности в теории вызывает тот факт, что энергии нижних состояний полевых осцилляторов оказываются отличными от нуля. Т.о. любая мода из бесконечного набора даже в отсутствии в ней реально наблюдаемых фотонов обладает энергией, равной половине энергии планковского кванта. Полная же энергия вакуума, даже в случае отсутствия в нем излучения оказывается бесконечно большой. В рассматриваемом случае представляется малоприемлемым часто используемый в физике способ переопределения энергии системы за счет сдвига начального уровня ее отсчета. Происхождение отличного от нуля значения энергии нижнего состояния имеет глубокий физический смысл, поскольку проистекает из правила коммутации операторов обобщенной координаты и импульса. Именно это свойство операторов в конечном итоге приводит к правильному описанию эффекта спонтанного излучения, не объясненного «классической» квантовой механикой и ряда других «тонких» эффектов, наблюдаемых на эксперименте. Следуя введенной терминологии, соответствующие «половинкам фотонов» нижние состояния можно назвать темновыми фотонами или нуль-колебаниями электромагнитного вакуума. Вместе с тем следует отметить, что полученный результат в виде бесконечно большой энергии элдектромагнитного вакуума,по-видимому, является физически бессмысленным и свидетельствует о внутренней противоречивости и незавершенности имеющейся на сегодняшний день квантовой релятивистской теории излучения.

 

 

 

 

(8.1)

Задание состояния электромагнитного поля в резонаторе в виде совокупности невзаимодействующих друг с другом полевых осцилляторов.

 

 

(8.2)

 

Энергия электромагнитного поля как сумма энергий полевых осцилляторов.

 

(8.3)

Энергия фотона, соответствующего моде излучения с волновым вектором k.

 

8.2. Импульс электромагнитного поля

Фотон, как ультрарелятивистская частица, помимо энергии должен обладать и импульсом, связанным с энергией стандартным релятивистским соотношением (8.4). Ожидаемое выражение для импульса фотона может быть действительно получено в рамках принятого в квантовой электродинамике формализма полевых осцилляторов. Явный вид оператора импульса (8.5) записывается естественным образом по аналогии с классическим выражением и с учетом ранее полученных выражений для операторов векторного потенциала и поля (7.29 — 7.30) может быть выражен через операторы обобщенных координат и импульсов полевых осцилляторов (8.6). Из последнего соотношения непосредственно следует ожидаемое из не квантовой релятивистской теории «правильное» выражение для импульса электромагнитного поля (8.7). В отличие от рассмотренной противоречивой ситуации с энергией, в случае импульса электромагнитного поля из-за векторного характера входящих в сумму слагаемых полный импульс не содержащего электромагнитного излучения пространства в определенном смысле оказывается равным нулю.

 

 

(8.4)

Квадрат четырехвектора энергии-импульса для фотона и выражение для импульса фотона.

(8.5)

Оператор импульса электромагнитного поля в резонаторе.

(8.6)

Оператор импульса электромагнитного поля в виде разложения на осцилляторы.

(8.7)

Импульс квантованного электромагнитного поля.

 

8.3. Поляризация излучения и «спин» фотона

Если в рамках классической физики понятие поляризации электромагнитных волн не требует особых комментариев, то выяснение смысла этой характеристики в случае корпускулярного описания представляется весьма содержательным.

Даже на языке классической физики может быть приведен ряд соображений, указывающих на тесную связь поляризации излучения со спином фотона, который в случае движущейся со скоростью света частицы обычно называют спиральностью. Для выяснения связи поляризации излучения с переносимым им моментом импульса достаточно рассмотреть процесс взаимодействия атома Томсона с излучением круговой поляризации. При установившемся вынужденном вращении квазиупругого электрона с частотой вращения электрического поля волны угол между векторами скорости электрона и напряженности поля остается постоянным. При этом скорость передачи энергии излучения системе оказывается пропорциональной скорости передачи ей момента импульса (8.8). Подстановка в полученное выражение планковской формулы для энергии излучения приводит к предположению о том, чтоz-проекция момента импульса фотона с круговой поляризацией может иметь величину, равную постоянной Планка. В этом случае кажется логичным приписать фотону собственный момент импульса равный по величине одной постоянной Планка.

К аналогичному выводу приводят и другие соображения, основанные на связи величины спина системы с трансформационными свойствами состояний поляризации излучения при вращении системы координат. Так очевидно, что при повороте системы координат вокруг оси z, направление которой совпадает с направлением распространения плоской монохроматической волны, два возможных состояния ее линейной поляризации преобразуются друг через друга (8.9). В случае же состояний круговой поляризации (8.10) поворот системы координат приводит лишь к их умножению на фазовый множитель (8.11) в точности совпадающий с аналогичным множителем, возникающим при поворотах вокруг оси z систем с единичным спином. Именно это свойство состояний поляризации позволяет приписать фотону плоской монохроматической волны круговой поляризации собственный момент импульса, равный единице.

Приписывание фотону единичного спина носит несколько условный характер, поскольку спином принято называть внутренний момент импульса частицы в тех системах отсчета, относительно которых рассматриваемая частица остается неподвижной. Именно отсутствие системы отсчета, в которой частица может покоиться, в конечном итоге приводит к запрету существования фотонов в сферически-симметричных состояниях. Именно по этой причине состояние |S=1, MS=0> случае фотонов оказываются нереализуемыми в природе.

 

(8.8)

Скорости передачи энергии и момента импульса атому Томсона электромагнитным излучением круговой поляризации и связь между моментом импульса и энергией классического электромагнитного излучения.

(8.9)

Преобразование состояний линейной поляризации при вращении системы координат.

(8.10)

Связь между состояниями круговой и линейной поляризацией

(8.11)

Преобразование состояний круговой поляризации излучения при вращении системы координат.

 

8.4. Полный момент и четность фотона

При решении задач взаимодействия излучения с атомом электромагнитное поле удобнее рассматривать как совокупность сферических волн, являющихся решением уравнения Д’Аламбера, записанным в сферических координатах (8.12). В некотором смысле это уравнение для векторного потенциала можно рассматривать как аналог уравнения Шредингера для электрона (2.4 — 2.5). Оба уравнения имеют сходную структуру и содержат квадрат оператора момента количества движения. Отличие состоит лишь в отсутствии слагаемого, содержащего кулоновский потенциал 9фотон является электрически нейтральной частицей) и в векторном характере искомого решения. Последнее требует некоторого уточнения: строго говоря, волновая функция электрона в классическом уравнении Шредингера не является скаляром, поскольку содержит в себе спиновую часть, отвечающую двум возможным состояниям собственного момента количества движения электрона (спин 1/2). В этом смысле различие между векторным потенциалом («волновой функцией») для фотона и «скалярной» (а реально — двухкомпонентной) волновой функцией электрона состоит только в величине спина сравниваемых элементарных частиц. Следует еще раз напомнить, что величина спина характеризует число состояний неподвижного объекта, преобразующихся друг через друга при вращениях координат.

Как и в случае решения задачи о движении электрона в кулоновском поле ядра стационарное (т.е. зависящее от времени по гармоническому закону) решение этого уравнения разумно искать в виде произведения двух функций: радиальной и угловой (8.13). В качестве последней следует использовать любую из ранее введенных шаровых функций (5.7), составляющих полный набор собственных функцией оператора квадрата момента количества движения. Построенное решение (8.13) содержит два множителя, преобразующиеся при вращениях системы координат: шаровые функции и вектор поляризации. Формально, по аналогии с задачей о электроне в атоме водорода, порядку l шаровой функции Ylm хочется сопоставить момент импульса фотона, а вектору поляризации — равный единице спин фотона (частицы с единичным спином ведут себя при вращениях подобно классическому вектору). Полный же момент фотона (как и в случае электрона) должен представлять сумму орбитального и спинового.

К сожалению, приведенная аналогия не является вполне удовлетворительнойиз-заравенства нулю массы покоя фотона. Эта очевидная особенность фотона делает невозможным существование системы координат, в которой бы он покоился. В результате понятие спина, традиционно определяемое как собственный момент количества движения покоящейся частицы, для фотона теряет смысл. Так же оказывается невозможным и корректное определение спина фотона как характеристики числа состояний, преобразующихся друг через друга при поворотах: обязательное для фотона состояние движение со скоростью света всегда выделяет одно направление в пространстве, изменение которого при повороте означало бы изменение волнового вектора фотона и, следовательно, номер соответствующей ему моды. Невозможность корректного разделения орбитального и спинового моментов фотона можно пояснить и на еще одном языке: условие поперечности для электромагнитных волн по существу накладывает дополнительное ограничение на взаимную ориентацию волнового вектора и вектора поляризации. В результате «орбитальное» и «спиновое» движение фотона не могут считаться независимыми. Т.о. в случае фотона оказывается возможным говорить только о полном моменте импульса частицы.

Помимо энергии, импульса и полного момента фотону может быть приписана определенная четность, характеризующая поведение волновой функции при инверсии координат. Указанная операции изменяет знак обычного трехмерного пространственного вектора на противоположный. Шаровая функция с индексами l, m=l при инверсии ведет себя подобно 2l — положительно направленным спинорам, каждая пара которых подобны пространственному вектору (8.14). Т.о. четность такой функции оказывается равной (-1)l. При поворотах системы координат шаровая функция с указанными индексами преобразуется через набор всевозможных шаровых функций порядка l. Поскольку в случае отсутствия слабых взаимодействий оператор инверсии с гамильтонианом системы, он коммутирует и с входящим в выражение для гамильтониана оператором квадрата момента импульса, а следовательно — и со связанным с ним оператором поворота. В результате оказывается, что весь набор шаровых функций порядка l обладает одинаковой четностью.

Из-затого, что волновая функция фотона носит векторный характер (т.е. содержит вектор поляризации, четность которого отрицательна), полная четность фотона оказывается равной (-1)l+1.

 

(8.12)

Уравнение Д’Аламбера в сферических координатах

(8.13)

Вид стационарного решения уравнения (8.12) и дифференциальное уравнение для радиальной части векторного потенциала.

(8.14)

Четность шаровых функций порядка l и четность соответствующей волновой функции фотона.

 

8.5. Векторная частицы в состояниях с различными целочисленными моментами импульса

Для построения классификации фотонов по моменту и четности целесообразно решить вспомогательную задачу нахождения допустимых значений полных моментов нерелятивистской векторной частицы с заданным орбитальным моментом. В качестве простейшего примера может быть рассмотрена векторная частица в р-состоянии(с орбитальным моментом l=1). Базисные состояния такой системы могут быть заданы в виде произведений состояний орбитального и спинового моментов (8.15). Такой базис разумно называть набором состояний с определенными проекциями орбитального и спинового моментов. Проекция полного момента системы на вертикальную ось по-прежнему определяется исходя из результата действия на состояние оператора поворота вокруг оси z. Состоянию с равными единице проекциями на ось z орбитального и спинового моментов может быть так же отнесено к состоянию нового базиса с полным моментом j=2 и его максимально возможной проекцией Mj=+2 (8.16). Остальные 4 состояния из группы с j=2 представляют собой симметричные линейные комбинации исходных базисных состояний (8.15) с одинаковыми суммами проекций орбитального и спинового моментов (8.17). В последнем утверждении легко убедиться, подействовав оператором произвольного поворота на состояние |j=2, m=2>, в результате которого указанное состояние должно превратиться в линейную комбинацию группы новых базисных состояний вида |j=2,Mj> (8.18). Всей этой группе соответствуют состояния, представляющие собой полностью симметричны линейные комбинации всех мыслимых комбинаций из четырех спиноров, взятых с одинаковыми весовыми множителями. В свою очередь, из этих линейных комбинаций легко составить состояния исходного базиса с определенными проекциями обоих моментов.

Оставшаяся антисимметричные линейные комбинации состояний старого базиса с |M|

Т.о. из заданного набора 9 произведений состояний с определенными проекциями моментов удалось построить такое же число новых базисных состояний с определенным значением полного момента и его проекции. В полном соответствии с квантовомеханическими правилами сложения моментов множество вновь построенных состояний содержит суммарные моменты, лежащие в интервале от |l-s| до l+s.

 

(8.15)

5 из 9 базисных состояний векторной нерелятивистской частицы с единичными орбитальным моментом и спином.

(8.16)

Определение полного момента импульса состояния

(8.17)

Переход от базиса состояний с определенной проекцией момента и спина к новому базису состояний с определенным полным моментом.

(8.18)

Методика поиска явного вида линейных комбинаций, приводящих к различным состояниям с j=2.

(8.19)

Состояние с равным единице полным моментом частицы.

(8.20)

Скалярное состояние системы с равным нулю спином.

 

8.6. Классификация фотонов

Перечисленные по алгоритму (8.15) набор состояний с полным моментом для векторной частицы оказывается избыточным для фотона, не имеющего «продольных» состояний с направленным по волновому вектору вектором поляризации. Для выявления «лишних» состояний продольной поляризации полезно установить их четность. Для того, чтобы физические свойства гипотетического «продольного» фотона оставались неизменными, производимые над ним преобразования симметрии не должны затрагивать волнового вектора (и параллельного ему вектора поляризации). Т.о. оказываются возможными только вращения вокруг волнового вектора, в результате которых объект должен проявлять свойства симметрии, соответствующие его полному моменту j. Т.о. координатная часть волновой функции фотона должна содержать шаровую функцию порядка j. При инверсии координат, не затрагивающей направление вектора k, шаровая функция полностью определяет четность всей волновой функции фотона — (-1)j. Именно состояние с такой четностью оказывается «лишним» и должно быть вычеркнуто их полного списка возможных состояний фотонов:

 

j

l

Четность = (-1) (-1)l

Четность= F(j)

Классификационное название

0

1

(+)

(-1)j

Продольное состояние (не сущ-т).

1

0

(-)

(-1)j

Электрический дипольный фотон

1

1

(+)

(-1)j+1

Магнитный дипольный фотон.

1

2

(-)

(-1)j

Продольное состояние (не сущ-т).

2

1

(+)

(-1)j

Электрический квадрупольный фотон.

2

2

(+)

(-1)j+1

Магнитный квадрупольный фотон.

2

3

(-)

(-1)j

Продольное состояние (не сущ-т)

Квантование электромагнитного поля

 

7.1. Моды закрытого резонатора

Электромагнитное поле внутри закрытого прямоугольного резонатора размерами Lx? Ly? Lzдолжно удовлетворять однородному уравнению Д’Аламбера (7.1), из которого в важнейшем частном случае монохроматических полей с очевидностью следует уравнений Геймгольца для координатной зависимости для амплитуды поля. Последнее уравнение решается стандартным методом разделения переменных (7.3), который с учетом граничных условий на зеркалах (равенство нулю тангенциальной компоненты электрического поля) приводит к известному выражению для собственных мод поперечного электромагнитного поля внутри зеркального резонатора (7.4). Как видно, каждая из трех пространственных проекций волнового вектора может принимать лишь дискретный набор значений. Каждая из разрешенных мод поля в закрытом резонаторе имеет свою частоту (7.5). При этом частотный (и вместе с ним энергетический) спектр электромагнитного поля внутри закрытого резонатора так же оказывается дискретным. Т.о. характерное для аппарата квантовой механики свойство квантования в случае электромагнитного излучения возникает уже на классическом уровне описания на языке уравнений Максвелла. В случае наличия дополнительной симметрии у резонатора (например, равенства его размеров вдоль двух координатных осей) происходит вырождение частотного спектра (одинаковой частоте могут соответствовать различные состояния поля), что так же весьма характерно для квантовомеханических систем.

 

(7.1)

Однородное уравнение Д’Аламбера для электромагнитного поля точек внутри пустого прямоугольного зеркального резонатора

(7.2)

Уравнение Геймгольца для монохроматического поля в вакууме.

(7.3)

Пробное решение уравнения (7.2), приводящее к разделению переменных.

(7.4)

Собственные моды электромагнитного поля в закрытом прямоугольном резонаторе.

(7.5)

Дискретный частотный спектр электромагнитного поля в прямоугольном резонаторе.

 

7.2. Разложение электромагнитного поля на осцилляторы

Введение скалярного и векторного потенциалов электромагнитного поля (в калибровке Лоренца) приводит к уравнению для них (7.6), аналогичному уравнению для электрического поля (7.1). Произвольное решение уравнения для векторного потенциала внутри резонатора в соответствие с теоремой Фурье может быть представлено как суперпозиция решений, изменяющихся в пространстве по гармоническому закону — плоских волн (7.7), амплитуды которых удовлетворяют классическому уравнению для гармонического осциллятора (7.8). Частота изменения во времени амплитуды каждой моды однозначно связана с величиной волнового вектора.

По понятным причинам представление классического электромагнитного поля в резонаторе в виде (7.7—7.8) называют разложением на полевые осцилляторы. Соответствующие такому разложению выражения для электрической магнитной составляющих легко получить, используя их связь с векторным потенциалом (7.6). Отдельно взятые слагаемое в разложении поля на осцилляторы принято называть модами электромагнитного излучения. Векторные амплитуды разложения поля на осцилляторы в свою очередь могут быть разложены по двум взаимно ортогональным (и, разумеется, ортогональным соответствующему волновому вектору) направлениям поляризации (7.9). Т.о. каждая мода электромагнитного излучения однозначно задается волновым вектором и состоянием поляризации. Величина амплитуды электромагнитного поля в каждой моде характеризует «степень ее наполнения излучением». В дальнейшем будет показано, что квадрат этой величины пропорционален числу фотонов, имеющихся в данной моде. Для более краткой характеристики мод излучения удобно ввести единый мультииндекс, обозначающий совокупность волнового вектора и номера состояния поляризации.

 

(7.6)

 

Однородное уравнение Д’Аламбера для векторного потенциала.

 

(7.7)

Представление векторного потенциала поля в виде плоских волн.

(7.8)

Уравнение для зависимости от времени амплитуд векторного потенциала.

 

(7.9)

Разложение амплитуд поля по ортогональным поляризациям.

 

7.3. Плотность числа состояний электромагнитного поля

Каждая мода или состояние электромагнитного излучения отличается волновым вектором и его поляризацией. Поскольку частота (и пропорциональная ей энергия) излучения в вакууме определяется только величиной вектора k и не зависит от поляризации, состояния электромагнитного поля оказываются сильно вырожденными. Имеет смысл введение понятия степени такого вырождения, т. е. числа состояний электромагнитного поля, характеризующихся заданной частотой (энергией). Поскольку допустимые величины каждой из трех пространственных проекций волнового вектора представляют набор дискретных значений (7.4), на каждую моду излучения в резонаторе приходится фиксированный объем ячейки импульсного пространства. Объем того же импульсного пространства, приходящийся излучение, частоты которого лежат в заданном малом интервале значений, оказывается равным объему лежащей в области mx >0 части сферического слоя, радиус которого задается соответствующей выбранной частоте длиной волнового вектора. В результате число состояний электромагнитного поля с частотами, лежащими в заданном интервале, определяется отношением объема сферического слоя к объему, приходящемуся на одну моду (7.11). Полученный результат удваивается из-за необходимости учета двух возможных поляризаций для каждой из мод резонатора. Поскольку вычисленное число состояний оказалось пропорциональным объему закрытого резонатора, оказывается возможность ввести понятие плотности числа состояний электромагнитного поля с частотами, лежащими в заданном интервале (7.12). Эта плотность не зависит от размеров резонатора и, следовательно, может быть также приписана излучению в свободном пространстве. По существу плотность числа состояний характеризует степень вырождения монохроматического электромагнитного поля по направлениям волнового вектора и состояниям поляризации.

 

(7.10)

Объем ячейки импульсного пространства, приходящейся на одну моду излучения в резонаторе.

 

 

(7.11)

Число состояний электромагнитного поля, соответствующее заданному интервалу частот излучения и положительным значениям mx .

(7.12)

Плотность числа состояний монохроматического неполяризованного электромагнитного поля.

 

7.4. Энергия электромагнитного поля

Объемная плотность энергии электромагнитного поля складывается из объемных плотностей энергии его электрической и магнитной составляющих (7.13). Подстановка в выражение для полной энергии поля в резонаторе (7.14) соответствующих разложению на осцилляторы выражений для электрического и магнитного полей (7.15 — 7.16) позволяет записать полную энергию поля в виде суммы независимых друг от друга слагаемых, отвечающих вкладам в энергию от каждой моды (7.17). В свою очередь, каждое из соответствующих модам независимых слагаемых может быть записано в форме, совпадающей с гамильтонианом гармонического осциллятора (7.18). В результате описанной процедуры вычисления энергии естественным образом возникают канонически сопряженные переменные: обобщенные координаты и импульсы для каждой моды (7.19). Амплитуды для векторного потенциала легко выражаются через новые обобщенные координаты (7.20).

 

 

(7.13)

Плотность энергии электромагнитного поля в случае комплексной формы записи его амплитуд.

(7.14)

 

(7.15)

Квадрат напряженности электрического поля в представлении разложения на осцилляторы

 

(7.16)

Квадрат напряженности магнитного поля в представлении разложения на осцилляторы

(7.17)

Энергия поля в резонаторе представима суммой энергии каждой его моды.

 

 

 

 

(7.18)

Представление энергии каждой моды в виде гамильтониана гармонического осциллятора.

(7.19)

Обобщенные координата и импульс для каждой моды резонатора

(7.20)

Выражение для амплитуд векторного потенциала через канонически сопряженные координаты и импульсы.

 

7.5. Квантование полевого осциллятора

Техника квантования классического осциллятора хорошо известна в нерелятивистской квантовой механике. Поскольку релятивистски инвариантные уравнения Максвелла привели к выражению, формально совпадающим с известным выражением для энергии классического осциллятора, представляется целесообразным применить к нему аналогичную процедуру квантования с целью получения квантовомеханического описания ультрарелятивистского объекта — электромагнитного излучения.

Переход к квантовомеханическому описанию осуществляется заменой канонически сопряженных переменных соответствующими некоммутирующими операторами (7.21). Дифференцирование по времени функции Гамильтона энергии приводит к операторному аналогу уравнения движения для полевого осциллятора (7.22). Применение этого уравнения к матричным элементам для стационарных состояний с учетом правила вычисления матричного элемента от производной оператора (7.23) приводит к соотношению, показывающему, что матричные элементы оператора обобщенной координаты полевого осциллятора могут отличаться от нуля только в случае, если энергии исходного и конечного состояний отличаются на величину w (7.24). Поскольку потенциальная энергия гармонического осциллятора неотрицательна, он должен иметь состояние, обладающее минимальной полной энергией. Такому состояние принято приписывать нулевой номер. Все остальные состояния, согласно (7.24), отделены от наинизшего энергетическими зазорами, кратными w h . Логично их занумеровать в порядке возрастания энергии. При таком способе нумерации матричные элементы оператора координаты оказываются отличными от нуля только между парами состояний с соседними номерами.

Переходя в правиле коммутации (7.21) к диагональным матричным элементам, легко получить рекуррентные соотношения для матричных элементов оператора координаты (7.24). Последовательное применение полученного соотношения позволяет вычислить все матричные элементы (7.25).

 

 

 

(7.21)

Правило коммутации операторов обобщенных координат и импульсов в каждой моде.

 

(7.22)

Уравнение движения для полевого осциллятора.

(7.23)

Правило вычисления матричного элемента от производной по времени оператора.

(7.24)

Условия неравенства нулю матричного элемента оператора обобщенной координаты.

(7.25)

Рекуррентное соотношение для матричных элементов оператора обобщенной координаты.

(7.26)

Матричные элементы оператора обобщенной координаты.

 

7.6. Операторы рождения и уничтожения

По аналогии с выражениями для амплитуд скалярного потенциала (7.20) могут быть введены операторы рождения и уничтожения (7.27). Их матричные элементы легко вычисляются, исходя из найденных матричных элементов операторов обобщенной координаты и импульса (7.28). Название операторов вполне оправдано свойствами их матричных элментов.

Воспользовавшись аналогией с классическими выражениями для векторного потенциала и полей Е и В (7.7), нетрудно построить соответствующие операторы поля (7.29).

 

(7.27)

Операторы рождения и уничтожения.

(7.28)

Матричные элементы операторов рождения и уничтожения.

(7.29)

Оператор векторного потенциала

(7.30)

Оператор электрического поля

Ответственный за содержание: специалист управления по связям с общественностью С. С. Смирнова, s.s.smirnova@spbu.ru

Поиск