Углубленный поток Т.А. Суслина
Основной поток М.М. Фаддеев
Базовый поток М.А. Дородный

Дисциплина «Высшая алгебра» относится к циклу математических дисциплин. Для ее изучения студент должен владеть знаниями в объеме программы математики средней школы. Понятия и методы дисциплины используются как при изучении последующих математических дисциплин, так и всех физических дисциплин, входящих в программу подготовки в бакалавриате.
На углубленном поток дисциплина изучается углубленно, и потому он рассчитан в первую очередь на подготовленных студентов. Курс основного потока рассчитан на выпускников обычных классов и школ. Курс базового потока является упрощенным по сравнению с курсами углубленного и базового потоков.
В программу курса «Высшая алгебра» 1 семестра обучения входят два раздела – аналитическая геометрия и линейная алгебра (теория матриц и систем линейных алгебраических уравнений).

Основные темы первого раздела:
1. Векторы на плоскости и в пространстве. Действия над ними.
2. Прямая на плоскости.
3. Плоскость в пространстве.
4. Прямая в пространстве.
5. Кривые второго порядка на плоскости.

Основные темы второго раздела:
1. Матрицы и действия над ними.
2. Определители.
3. Ранг матрицы.
4. Системы линейных алгебраических уравнений.
5. Подобие и диагонализуемость матриц.
6. Функции от матриц.
7. Специальные классы матриц.

Углубленный поток О.В. Сарафанов
Основной поток Н.В. Смородина
Базовый поток Н.Г. Гельфрейх

В данном курсе изучаются базовые разделы математического анализа. Уровень изложения в углубленном потоке несколько повышен по сравнению с остальными потоками и рассчитан на выпускников профильных классов и школ. Материал базового потока несколько упрощен по сравнению с двумя другими потоками. Экзамен в углубленном потоке содержит не только письменную, но и устную часть. Экзамен в основном и базовом потоках является письменным с последующим индивидуальным обсуждением результата.
Вводная часть содержит элементы математической логики и теории множеств, также обсуждаются некоторые свойства числовых множеств. Центральные темы этого раздела - точные границы подмножеств множества вещественных чисел и их свойства, комплексные числа, определение и свойства основных элементарных функций одного комплексного аргумента, полиномы и их свойства.
Основная часть курса в первом семестре посвящена последовательному изложению теории пределов, теории непрерывных функций, дифференциального и интегрального исчисления функций одного вещественного аргумента. Также вводятся основные понятия дифференциальной геометрии на плоскости (длина дуги, натуральная параметризация, кривизна).

Углубленный поток Т.А. Суслина
Основной поток М.М. Фаддеев
Базовый поток М.А. Дородный

Дисциплина «Высшая алгебра» относится к циклу математических дисциплин. Для ее изучения студент должен владеть знаниями в объеме программы курсов «Математический анализ» и «Высшая алгебра» за 1 семестр обучения. Понятия и методы дисциплины используются как при изучении последующих математических дисциплин, так и всех физических дисциплин, входящих в программу подготовки в бакалавриате.
Углубленный поток рассчитан в первую очередь на подготовленных студентов. Курс основного потока рассчитан на выпускников обычных классов и школ. Курс базового потока является упрощенным по сравнению с курсами углубленного и базового потоков.

Основные темы дисциплины:
1. Общие алгебраические структуры.
2. Конечномерные линейные пространства. Базисы, координаты.
3. Линейные операторы в конечномерных линейных пространствах. Типы линейных отображений.
4. Изображающие матрицы линейных операторов.
5. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Диагонализация операторов и матриц.
6. Линейные и билинейные формы.
7. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Закон инерции квадратичных форм.
8. Евклидовы пространства.
9. Самосопряженные и унитарные операторы. Диагонализация.
10. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов ортогональным преобразованием координат. Применение к классификации поверхностей второго порядка в трехмерном пространстве.
11. Каноническая жорданова форма матрицы.

Углубленный поток О.В. Сарафанов
Основной поток Н.В. Смородина
Базовый поток Н.Г. Гельфрейх

В данном курсе изучаются базовые разделы математического анализа. Уровень изложения в углубленном потоке несколько повышен по сравнению с остальными потоками и рассчитан на выпускников профильных классов и школ. Материал базового потока несколько упрощен по сравнению с двумя другими потоками. Экзамен в углубленном потоке содержит не только письменную, но и устную часть. Экзамен в основном и базовом потоках является письменным с последующим индивидуальным обсуждением результата.
В весеннем семестре этот курс посвящен теории числовых и функциональных рядов и дифференциальному исчислению функций нескольких вещественных переменных, а также изучению свойств интегралов, зависящих от параметра.

Углубленный поток А.С. Порецкий
Основной поток В.А. Слоущ
Базовый поток С.Б. Левин

Углубленный поток
Курс высшей математики в осеннем семестре посвящен многомерному интегрированию, его можно разделить на две части. Первая часть относится к построению интеграла Римана от функции многих переменных по области в n-мерном пространстве. Основными теоремами этой части являются критерий интегрируемости Дарбу, критерий интегрируемости Лебега, теорема об аддитивности интеграла Римана, теорема Фубини (о сведении кратного интеграла к повторному), теорема о замене переменной в интеграле Римана.
Во второй части изучается теория дифференциальных форм и обсуждается их интегрирование по многообразиям. Язык дифференциальных форм используется во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля. В данном курсе дифференциальные формы используются для построения интеграла по многообразиям (обобщение понятий поверхности и кривой). Основной теоремой этой части является теорема Стокса, связывающая интеграл по многообразию и его границе. Следствиями этой теоремы являются известные теоремы классического векторного анализа: формула Грина, формула Стокса и формула Остроградского-Гаусса, широко применяемые в физике.
Материал углубленного потока рассчитан в первую очередь на студентов, планирующих заниматься теоретической или математической физикой. Для освоения курса понадобится знание математического анализа и высшей алгебры первого года обучения.

Основной поток
Осенний семестр курса высшей математики в общем потоке посвящен многомерному интегрированию и теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Теория многомерного интегрирования естественно разбивается на две части: изучение интеграла Римана от функции многих переменных; знакомство с дифференциальными формами и их применениями. Первая часть включает в себя построение интеграла Римана от функции многих переменных по многомерной области (в том числе такие теоремы, как критерий Дарбу, критерий Лебега, теорему Фубини, теорему о замене переменной в интеграле Римана); при этом основной упор делается на двумерный и трехмерный случай. Во второй части студенты знакомятся с дифференциальными формами в двумерном и трехмерном случае и их приложениями: формулой Грина, формулой Стокса и формулой Остроградского-Гаусса.
В теории обыкновенных дифференциальных уравнений студенты сначала изучают линейные дифференциальные уравнениями и системы линейных дифференциальных уравнений (теорему о существовании и единственности решения задачи Коши, метод вариации произвольной постоянной, метод разрешающего оператора), затем более подробно линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, затем знакомятся с общими нелинейными дифференциальными уравнениями (теоремой о существовании и единственности решения задачи Коши на малом интервале).

Базовый поток
Цель изучения дисциплины: формирование у студентов, обучающихся на физическом факультете, знаний, составляющих значительную часть базы физико-математического образования – интегрирование в многомерных пространствах, дифференциальные уравнения, анализ Фурье и вариационное исчисление, обучение использованию упомянутых методов высшей математики в различных естественнонаучных областях.
Задачи курса: знакомство с общими теоретическими положениями, изучение методов и приобретение практических навыков решения стандартных задач по следующим разделам Высшей математики: кратные и поверхностные интегралы, векторный анализ, обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнениями в частных производных первого порядка, анализ Фурье, вариационное исчисление. Краткое знакомство с качественной теорией дифференциальных уравнений на плоскости.
В осеннем семестре данный курс посвящен двум большим темам. Первая - это теория кратных и поверхностных интегралов. Эта тема включает в себя следующие разделы:
1) теория кратного интегрирования (интеграл Римана)
2) теория несобственного кратного интеграла
3) криволинейные и поверхностные интегралы 1-го рода (интегралы по длине дуги и площади поверхности)
4) криволинейные и поверхностные интегралы 2-го рода (интегрирование дифференциальных форм)
Акцент делается на приложении теории к решению различных физических задач, примеры которых подробно рассматриваются.
Вторая большая тема - теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта тема также разбита на разделы:
1) линейные уравнения с постоянными коэффициентами
2) линейные обыкновенные дифференциальные уравнения
3) системы линейных дифференциальных уравнений, разрешающий оператор
4) нелинейные дифференциальные уравнения
5) уравнения в частных производных первого порядка
В этой теме основной акцент сделан на линейных уравнениях и системах с постоянными коэффициентами.

Углубленный поток А.А. Федотов
Основной поток В.А. Слоущ
Базовый поток С.Б. Левин

Углубленный поток
В весеннем семестре курс лекций включает в себя лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, лекции по теории рядов и интегралов Фурье и лекции по вариационному исчислению.
Лекции по дифференциальным уравнениям начинаются с изложения общих результатов и включают рассказ о теореме существования и единственности решения задачи Коши на достаточно малом интервале, о продолжения решения из этого интервала, о зависимости решения от начальных данных и от параметров. После доказательства общих теорем, мы переходим к изучению линейных дифференциальных уравнений. Рассказывается о глобальной разрешимости задачи Коши, о структуре множеств решений однородных и неоднородных уравнений, формулируется и доказывается теорема Лиувилля, вводится и изучается резольвента и ее связь с методом вариации произвольных постоянных. В заключение рассказывается о линейных дифференциальных уравнениях с постоянными коэффициентами.
Рассказ об анализе Фурье начинается с мотивировочной части, в которой разложение в ряд строится (нестрого!) как разложение по собственным функциям самосопряженного оператора. Затем аккуратно исследуются свойства коэффициентов Фурье и, в частности, обсуждаются коэффициенты Фурье производной функции, функции со сдвинутым аргументом и т. д. Обсуждается связь между гладкостью функции и скоростью убывания коэффициентов Фурье. Отдельный параграф посвящен коэффициентам Фурье свертки. После рассказа о дельта-образных последовательностях и о ядре Фейера выводится формула для поточечного восстановления непрерывной функции по ее коэффициентам Фурье и получаются следствия из нее (напр., теоремы единственности, Римана-Лебега и Стоуна-Вейерштрасса). Строится пример непрерывной функции, для которой ряд Фурье расходится на плотном множестве. После этого рассказывается общая теория ортонормированных систем с приложением к тригонометрическим рядам Фурье. Дается понятие об унитарности преобразования Фурье. Далее рассказывается о поточечной сходимости ряда Фурье для непрерывно дифференцируемых функций. Рассказ о разложении в интеграл Фурье опять начинается с мотивировочной части, потом излагается теория интеграла Фурье для быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций (функций из класса Шварца). В заключение, очень коротко рассказывается о преобразовании Фурье суммируемых функций.
В части курса, посвященной вариационному исчислению, подробно рассказывается о решении задачи с фиксированными концами. Выводятся уравнения Лагранжа, рассказывается о второй вариации, о достаточном условии, при котором решения уравнений Лагранжа оказываются экстремалями интегрального функционала. Излагается теория условных экстремумов (решение изопериметрической задачи и задачи Лагранжа). После этого рассказывается о преобразовании Лежандра, связи лагранжевой и гамильтоновой систем уравнений и выводе гамильтоновой системы из вариационного принципа. Довольно подробно рассказывается о решении уравнений Гамильтона-Якоби. Отдельный параграф посвящен обсуждению аналога задачи с фиксированными концами для функций нескольких переменных.
В курсе лекций много примеров решения задач из физики. Так при рассказе о вариационном исчислении получено параметрическое описание брахистохроны, обсуждаются законы сохранения, задача о цепной линии, геодезические на сфере, функционал Ферма, решение уравнения эйконала и его возникновение в теории распространения волн, построение собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Шредингера на отрезке с помощью методов вариационного исчисления (метода Ритца). Отдельный параграф посвящен интегралу Фейнмана и его квазиклассическому анализу. Из вариационных принципов выводится простейший вариант уравнений Хартри-Фока.

Основной поток
Весенний семестр курса высшей математики в общем потоке посвящен изучению рядов Фурье, интеграла Фурье и вариационного исчисления.
В разделе «ряды Фурье» студенты изучают зависимость поведения коэффициентов Фурье от гладкости функций, теоремы о поточечной и среднеквадратической сходимости рядов Фурье, приложения теории рядов Фурье к обыкновенным дифференциальным уравнениям, к разностным уравнениям и к уравнениям в свертках.
Далее изучается интеграл Фурье — теоремы о восстановлении функции по своему Фурье-образу; приложения теории интегралов Фурье к обыкновенным дифференциальным уравнениям, к разностным уравнениям и к уравнениям в свертках.
При изучении вариационного исчисления студенты ограничиваются рассмотрением достаточных условий экстремума для основной задачи вариационного исчисления и ее простейших обобщений и знакомством с задачами на условный экстремум (изопериметрической задачей и задачей Лагранжа).

Базовый поток
Данный курс включает в себя две большие темы - гармонический анализ и вариационное исчисление, а также элементы дифференциальной геометрии поверхностей и качественной теории дифференциальных уравнений на плоскости.
Первая тема посвящена рядам и интегралам Фурье (гармонический анализ).
Наряду с общими вопросами разложения функций в ряд Фурье или представления функции интегралом Фурье в этом разделе делается акцент на приложения к решению уравнений в свертках, дифференциальных и разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Подробно рассматриваются примеры решения таких задач в ситуации общего положения.
Раздел, посвященный рядам Фурье, включает в себя также постановку и описание основных свойств решений регулярной задачи Штурма-Лиувилля.
В теме вариационного исчисления рассматриваются
1) основная задача вариационного исчисления и различные ее обобщения (функционалы от скалярной и векторной функций, задача со свободными концами, функционалы с кратными интегралами, условия трансверсальности)
2) условные вариационные задачи (изопериметрическая задача и задача Лагранжа)
3) гамильтонов подход в вариационном исчислении
4) теория Якоби второй вариации, метод Гамильтона-Якоби
5) вариационный принцип в задаче Штурма-Лиувилля
В частности рассматриваются примеры задач классической механики, решение которых определяется в рамках вариационного исчисления.
В теме, посвященной качественной теории дифференциальных уравнений на плоскости, рассматривается классификация фазовых портретов простых (с ненулевым определителем) линейных систем и формулируется теорема о линеаризации.
Отметим, что при чтении всего курса внимание уделяется большому количеству примеров, в которых наглядно демонстрируются возможности
приложения теории к решению тех или иных задач.

Практический поток А.В. Баданин
Теоретический поток В.В. Суханов

Практический поток
Первая часть курса «Методы математической физики» посвящена основам теории функций комплексной переменной и ее приложениям. Изучаются свойства регулярных функций, аналитическое продолжение, конформные отображения. Излагаются основы операционного исчисления: преобразование Лапласа и его применение к решению дифференциальных уравнений. Кроме того, изучаются некоторые асимптотические методы: асимптотики интегралов типа Лапласа, метод стационарной фазы, метод перевала.

Теоретический поток
Ключевыми вопросами первой части курса «Методы математической физики» являются вопросы изучения теории функций комплексной переменной. В частности, стандартные вопросы дифференцирования, интегрирования и рядов Тейлора для аналитических функций. Особенно подробно рассматриваются аналитическое продолжение, многозначные функции и конформные отображения. Кроме того, в эту часть курса включены теория обобщенных функций и классические задачи математической физики.

Теоретический поток Н.В. Смородина
Практический поток А.В. Люлинцев

Первые лекции посвящены элементарной теории вероятностей и предназначены для первичного ознакомления с предметом. После этого вводятся базовые понятия теории меры и интеграла Лебега и в этих терминах излагаются математические основания теории вероятностей, базирующиеся на аксиоматике Колмогорова. Далее вводятся такие понятия как независимость, случайная величина, распределение случайной величины, совместное распределение нескольких случайных величин, характеристическая функция. Доказываются закон больших чисел и центральная предельная теорема. Изучаются свойства гауссовских случайных векторов. Вводятся основные понятия математической статистики (случайная выборка, эмпирическое распределение, выборочные моменты). Подробно рассматриваются выборки из нормальной совокупности (оценка параметров нормального закона, проверка гипотезы о равенстве средних в двух независимых выборках, оценка регрессионных коэффициентов для прямолинейной регрессии).

Практический поток А.В. Иванов
Теоретический поток В.В. Суханов

Практический поток
Вторая часть курса «Методы математической физики» состоит из двух разделов:
теории обобщенных функций и краевых задач математической физики. В первом разделе изучаются основные понятия теории обобщенных функций и их свойства, а также приложения обобщенных функций для решения различных типов уравнений (дифференциальных, разностных и др.). Во втором разделе рассматривается постановка краевых задач для уравнений математической физики, вводится понятие функции Грина, изучаются ее свойства и приводится ряд примеров построения функции Грина. Также в этом разделе изучается метод разделения переменных для решения краевых и смешанных задач. Кроме того, во второй раздел входят основы аналитической теории дифференциальных уравнений и специальных функций.

Теоретический поток
Во второй части комплексный анализ по прежнему остается важной частью курса, но на первый план выходят вопросы асимптотического анализа. Сначала продолжается изучение классических задач математической физики. Затем следует часть курса, посвященная асимптотическому вычислению интегралов (метод Лапласа, метод стационарной фазы и метод перевала). Далее идет аналитическая теория дифференциальных уравнений и теория эллиптических функций.

Теоретический поток М.А. Лялинов
Практический поток О.В. Сарафанов

Теоретический поток
Основные темы, освещаемые в курсе: классификация PDE, характеристики и слабые разрывы решений, краевые и начально-краевые задачи для волнового уравнения, элементы функционального анализа, линейные операторы и теория Фредгольма, самосопряженность, теория Гильберта-Шмидта, теория потенциала, краевые задачи теории аналитических функций.

Практический поток
Курс состоит из двух разделов. Первый раздел посвящен теории интегральных уравнений в нормированных пространствах. Обсуждаются теоремы Фредгольма и рассматриваются некоторые методы решения основных типов интегральных уравнений - уравнений Вольтерра (в частности, уравнения Абеля) и уравнений Фредгольма (в основном, с вырожденными ядрами). Также рассматриваются одномерные сингулярные интегральные уравнения с постоянными коэффициентами как важный пример уравнений, не подчиняющихся теоремам Фредгольма.
Второй раздел посвящен методу ВКБ для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Выводятся старшие члены ВКБ-асимптотики вдали от точек поворота. Обоснование полученной асимптотики дает простой пример приложения теории интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Обсуждается сшивание асимптотических формул по разные стороны от простой точки поворота, для этого подробно изучаются частные решения уравнения Эйри. Рассмотрены некоторые примеры из квантовой механики: условия квантования в потенциальной яме и туннелирование сквозь барьер.

А.С. Порецкий

Курс «Геометрия многообразий» посвящён основам дифференциальной геометрии. Многообразие является обобщением понятия поверхность. Локально многообразие устроено как евклидово пространство: оно покрывается картами, в каждой из которых можно ввести локальные криволинейные координаты. Если математический анализ в основном исследует локальные свойства функций (например, дифференцируемость в точке), то геометрия изучает свойства глобальные (например, существует ли на сфере непрерывное касательное векторное поле, которое нигде не обращается в нуль; ответ даёт знаменитая теорема о непричесываемости ежа).

В курсе лекций основным объектом исследования являются тензорные поля, объекты, зависящие от точки многообразия и преобразующиеся по определённому «тензорному» закону при переходе от одних локальных координат к другим. Главной целью курса является построение «ковариантной производной», операции дифференцирования, которая из тензорного поля делает новое тензорное поле. Для скалярных функций такая операция совпадает с взятием частных производных по локальным координатам, однако уже для векторных полей частные производные для этой цели не годятся. С понятием ковариантной производной тесно связана операция параллельного переноса вектора. В простейшем случае, когда многообразие является евклидовым пространством, параллельный перенос вектора устроен тривиально: сохраняются все его координаты. В общем случае это не так, и, более того, результат параллельного переноса зависит от пути, вдоль которого он осуществляется.

Курс состоит из двух частей. Первая часть посвящена обсуждению гладких многообразий и касательных расслоений на них. Вторая часть посвящена более общему понятию векторного расслоения. Для освоения курса потребуется знание математического анализа и линейной алгебры, желательно знание теории дифференциальных уравнений.

Язык дифференциальной геометрии оказывается естественным в теории групп и алгебр Ли, теории псевдодифференциальных операторов, лагранжевой и гамильтоновой механике, общей теории относительности, теории калибровочных полей. Поэтому курс «геометрия многообразий» будет полезным не только для студентов кафедры высшей математики и математической физики, но и для студентов других теоретических кафедр.

В.А. Слоущ

В курсе излагаются основы теории меры и интеграла. В том числе: абстрактная теория вполне конечных и сигма-конечных мер и теория интеграла по абстрактной мере, а также теория конечных зарядов. На основании абстрактных результатов: строится мера Лебега в конечномерном пространстве; исследуется дифференцируемость монотонных функции и разложение монотонных функций на абсолютно непрерывную, сингулярно непрерывную части и функцию скачков.

Теория функций служит основой для курса функционального анализа и в какой-то мере для курса спектральной теории самосопряжённых операторов. Знакомство с теорией функций полезно при изучении теории вероятностей, геометрии многообразий, теории соболевских пространств, теории дифференциальных уравнений в частных производных и многих других дисциплин.

В.А. Слоущ

В курсе излагаются основы теории метрических и нормированных пространств; строятся многочисленные примеры метрических и нормированных функциональных пространств и пространств последовательностей. Излагаются основы теории линейных ограниченных, компактных и замкнутых операторов в банаховых пространствах; приводятся примеры таких операторов в функциональных пространствах и пространствах последовательностей. В курсе обсуждаются элементы теории двойственных пространств, двойственных (транспонированных) операторов и рефлексивных пространств. Для большинства функциональных пространств и пространств последовательностей описываются двойственные пространства и обсуждается рефлексивность (нерефлексивность).

Функциональный анализ служит основой для спектральной теории самосопряжённых операторов, теории соболевских пространств и краевых задач. Функциональный анализ будет полезен при изучении спектральной теории дифференциальных операторов в частных производных, спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов, математической теории рассеяния и многих других курсов.

М.В. Бабич

Курс представляет собой введение в теорию групп и включает в себя обсуждение следующих тем:
Часть I. Элементы теории групп.
1. Введение. Группы преобразований и абстрактные группы. Примеры.
2. Основные определения. Гомоморфизм и изоморфизм. Примеры
3. Соотношения и образующие. Граф Кэли. Примеры Z_n, S₃, D_n.
4. Классы смежности. Теорема Лагранжа. Теорема Кэли.
5. Подгруппы. Нормальные подгруппы. Фактор-группа.
6. Произведения групп — прямое и полупрямое. Примеры.
7. Гомоморфизмы. Теорема о гомоморфизме. Примеры: S_n—>A_n,
SU(2)—>SO(3).
8. Классы сопряжённости. Централизатор (стабилизатор действия
сопряжениями). Формула классов. Примеры.
9. Коммутант. Разрешимые группы. Примеры.
9. Элементы теории Галуа.
10. Простые группы. Примеры: A_n, SL(n), SO(3).
Часть II. Элементы теории представлений.
1. Введение Примеры.
2. Представления циклической группы. Регулярное представление.
3. Одномерные представления. Индуцированные представления. Примеры.
4. Приводимость и полная приводимость представлений. Теорема о полной
приводимости приводимого представления конечной группы.
Неприводимость.
5. Унитарность. Унитарные представления конечных групп.
6. Леммы Шура и соотношения ортогональности.
7. Характеры. Основные свойства.

Т.А. Суслина

Курс посвящен теории пространств Соболева и их приложениям к краевым задачам.
В первом разделе курса изучаются пространства Соболева  целого неотрицательного порядка l; обсуждаются основные свойства этих пространств, устанавливаются теоремы продолжения и теоремы вложения. Далее, изучаются пространства  произвольного порядка  с помощью преобразования Фурье. Устанавливаются точные теоремы о следах. Второй раздел курса посвящен краевым задачам для эллиптических уравнений второго порядка и начально-краевым задачам для параболических уравнений. Обсуждается понятие обобщенных решений из классов Соболева, исследуется разрешимость и оценки решений.

М.М. Фадеев

Курс «Линейные операторы в гильбертовых пространствах» читается в 7 семестре. В курсе рассматривается общая теория линейных операторов (ограниченных и неограниченных) в гильбертовых пространствах и спектральная теория самосопряжённых и унитарных операторов, включая спектральную теорему. Продолжение этого курса - «Спектральная теория линейных операторов» - читается в 8 семестре. Во второй части рассматривается приложение спектральной теории к задачам теории возмущений линейных операторов, к задачам теории полуограниченных операторов, к подробному анализу классов компактных линейных операторов.

М.М. Фадеев

Курс «Линейные операторы в гильбертовых пространствах» читается в 7 семестре. В курсе рассматривается общая теория линейных операторов (ограниченных и неограниченных) в гильбертовых пространствах и спектральная теория самосопряжённых и унитарных операторов, включая спектральную теорему. Продолжение этого курса - «Спектральная теория линейных операторов» - читается в 8 семестре. Во второй части рассматривается приложение спектральной теории к задачам теории возмущений линейных операторов, к задачам теории полуограниченных операторов, к подробному анализу классов компактных линейных операторов.

А.А. Федотов

Группы Ли имеют большое значение в современной теоретической физике. Например, элементарные частицы можно интерпретировать как неприводимые унитарные представления группы Пуанкаре, современные теории динамики элементарных частиц основаны на концепции калибровочных групп и т.д.
Курс лекций представляет собой замкнутое введение в теорию
групп и алгебр Ли. Он начинается с формулировки основных определений и изложения элементарных свойств групп Ли. Затем в качестве примеров обсуждаются группа вращений SO(2) и её универсальная накрывающая группа SU(3). Во втором разделе курса рассказывается об алгебрах Ли и алгебрах Ли групп Ли. Следующий раздел курса посвящён экспоненциальному отображению. Здесь подробно обсуждается случай матричных групп. В следующем разделе рассказывается о присоединённом представлении и формулах Бейкера-Хаусдорфа. Здесь же начинается разговор о теории представлений. В следующем разделе коротко рассказывается о кварках. Оставшаяся часть курса посвящена исследованию структуры простых алгебр Ли. Курс заканчивается рассказом о диаграммах Дынкина.

При подготовке курса автор использовал лекции Г. Штайнакера и книгу Ф. Уорнера.

М.В. Перель

Асимптотические методы изучаются сперва на примере простейшего ОДУ второго порядка, возникающего как в задачах квантовой механики, так и в проблемах распространения волн.
Подробно обсуждается метод ВКБ. Асимптотика строится по малому параметру, который стоит при производных, а само уравнение рассматривается на интервале вещественной оси, а также в комплексной плоскости. Находятся и обосновываются асимптотические решения не только при отсутствии точек поворота, но и при их наличии. В этом случае используется метод сращивания асимптотических разложений (метод пограничного слоя по другой терминологии), строятся также равномерные асимптотические формулы с помощью приближения Грина-Лиувилля.
Метод пограничного слоя в его простейшей версии объясняется на примере решения краевой задачи. Методом двухмасштабных разложений находится асимптотическое решение краевой задачи для случая быстро осциллирующего коэффициента в уравнении. Этот же метод применяется к решению уравнения с дополнительным малым нелинейным членом (примером является уравнение Ван-дер-Поля).
Отдельное внимание уделяется явлению Стокса для случая уравнения с полиномиальным коэффициентом в комплексной плоскости. Асимптотическое решение находится при больших значениях независимой переменной. В разных секторах комплексной плоскости оно различно и меняется скачком на линиях Стокса. Определяются постоянные Стокса для уравнения Эйри и для уравнения параболического цилиндра.
Следуя работам М. Берри и Ф. Олвера, вводятся отличные от определения Пуанкаре определения асимптотики: суперасимптотики (суммирование до наименьшего члена), гиперасимптотики. Они позволяют выделять экспоненциально малые члены асимптотики на фоне бесконечно больших. Как показал М.В. Берри при таком определении не происходит скачка асимптотического решения на линии Стокса.
Изучается аналог метода ВКБ для систем линейных ОДУ c малым параметром при производной. Обоснование производится с помощью адиабатической теоремы Борна и Фока.

М.В. Перель

Лучевой метод — это аналог метода ВКБ для линейных уравнений в частных производных, его называют ещё многомерным методом ВКБ. В приложениях к квантовой механике этот метод называется квазиклассическим, а в теории распространения волн геометрооптическим. Сперва этот метод изучается на примере уравнения Гельмгольца. Решение уравнения эйконала определяет фазу решения. Оно находится с помощью вариационной задачи для функционала Ферма, экстремали назваются лучами. Амплитуда решения определяется из уравнения переноса и выражается через расходимость лучей. Обсуждается энергетический смысл решения.
В качестве примера рассмотрено поле точечного источника в среде, меняющейся в одном направлении. Решение обладает волноводными свойствами. Эйконал и расходимость лучей находятся по явным формулам и позволяют дать представление о качественной структуре поля. Обсуждаются другие методы решения той же задачи: метод интегрального представления и метод нормальных волн. Устанавливается связь между решениями, полученными разными методами.
Обсуждаются параксиальные уравнения лучей и построение c их помощью частицеподобных решений - «квазифотонов» Бабича-Улина, а также гауссовых пучков.
Лучевой метод применяется для построения квазиклассического решения уравнения Шрёдингера и нестационарного волнового уравнения. Обсуждаются разные способы решения уравнения эйконала и переноса.

А.А. Федотов

В курсе исследуется одномерный оператор Шрёдингера с периодическим потенциалом. Он является хорошо известной моделью одномерного кристалла. Вводятся основные понятия теории Блоха-Флоке: матрица монодромии, блоховские решения, блоховский квазиимпульс, функция Ляпунова. Исследуются их свойства. Для функции Ляпунова доказываются осцилляционные теоремы Тичмарша. Исследуются высокоэнергетические асимптотики основных объектов на комплексной плоскости спектрального параметра. С помощью этих результатов описывается типичный график функции Ляпунова как функции вещественного спектрального параметра. Это позволяет описать конформные свойства квазиимпульса. Далее изучаются аналитические свойства блоховских решений на соответствующей двулистной римановой поверхности. Затем доказывается теорема о разложении по обобщённым (блоховским) собственным функциям. В последней части курса решается обратная задача по восстановлению конечнозонных потенциалов. Для этого проводится знакомство с необходимыми результатами из алгебраической геометрии. В заключение даётся краткий обзор теории Марченко-Островского.

А.А. Федотов

Курс посвящён теории эргодических семейств операторов Шрёдингера. Речь идёт о широком классе операторов, включающий операторы как с почти периодическими, так и со случайными потенциалами. Такие операторы встречаются, например, в физике неупорядоченных сред и физике твёрдого тела. В курсе обсуждаются основные одномерные математические модели теории. Доказываются теоремы о существовании типичного спектра у операторов эргодического семейства. Вводятся и исследуются плотность состояний и показатель Ляпунова эргодического семейства. Устанавливаются связь между ними. Доказываются теоремы о связи свойств плотности состояний и показателя Ляпунова со спектральными свойствами операторов. Исследуются примеры семейств операторов с сингулярно непрерывным и плотным точечным спектром. В частности, обсуждаются свойства оператора почти-Матье и модели Андерсона. Доказавыется существование локализации Андерсона в одномерном случае.

О.В. Сарафанов

Излагаются основы теории псевдодифференциальных операторов (ПДО). Строится символическое исчисление ПДО и рассматриваются некоторые его приложения к анализу уравнений в частных производных.

О.В. Сарафанов

Строится теория сильно непрерывных полугрупп ограниченных операторов. При помощи теории полугрупп исследуется разрешимость начально-краевых задач для параболических уравнений в частных производных.

М.А. Лялинов

Пространственно-временной лучевой метод (в малом), метод канонического оператора (Маслова), интегральные преобразования в теории волн, интеграл Зоммерфельда, рассеяние на импедансном клине, функциональные уравнения Малюжинца, метод задачи Римана и задачи дифракции, асимптотики.

М.А. Лялинов

Задача Фока, метод параболического уравнения, волны «шепчущей галереи» и «прыгающего мячика», гауссовы пучки, квазимоды и асимптотики собственных частот колебаний, условия квантования.

А.В. Иванов

Курс представляет собой изложение основ симплектической геометрии, являющейся математическим аппаратом таких областей физики, как классическая механика, оптика, гидро — и термодинамика. Материал курса разбит на три части. Первая часть посвящена линейным симплектическим пространствам, симплектическим, лагранжевым и другим подпространствам, а также их классификации. Во второй часть будут изложены основные понятия симплектической геометрии на гладких многообразиях. В частности, будут затронуты вопросы классификации подмногообразий симплектических многообразий и их вложений. Третья часть посвящена построению гамильтонова формализма классической механики, строению интегрируемых систем, а также некоторым вопросам теории КАМ.

А.С. Порецкий

Теория рассеяния возникла из квантовой механики при описании взаимодействия нескольких сталкивающихся частиц. Изучение состояний частиц в процессе взаимодействия является очень громоздкой задачей, до сих пор окончательно не решённой. Идея теории рассеяния состоит в том, чтобы сравнить состояние системы частиц до взаимодействия с состоянием после, не описывая сам процесс взаимодействия. До и после взаимодействия отдельные частицы ведут себя как свободные и их поведение описывается более простыми уравнениями, которые принято называть «невозмущёнными». При этом реальное уравнение, учитывающее взаимодействие, называют «возмущённым».
Математически задача теории рассеяния состоит в том, чтобы описать асимптотику решения возмущённого уравнения с помощью некоторого решения невозмущённого уравнения при стремлении времени к плюс или минус бесконечности. Это можно формализовать, если ввести так называемые волновые операторы, которые и являются основным объектом изучения в теории рассеяния. Основная задача курса — описать математические подходы, используемые для доказательства существования и полноты волновых операторов. Будут описаны два подхода к построению теории рассеяния: ядерный и гладкий. Ведущим примером будет выступать уравнение Шрёдингера.
Для освоения курса необходимо знание комплексного анализа, функционального анализа, спектральной теории операторов, теории дифференциальных уравнений в частных производных и пространств Соболева.

А. С. Слуцкий

Целью курса является ознакомление слушателей с классическими и новейшими результатами и методами анализа вопросов существования, конечности или бесконечности, оценок и асимптотического поведения собственных значений операторов, возникающих в задачах квантовой и классической механики. В курс будут включены в том числе разделы, относящиеся к спектральному анализу операторов с магнитным полем, в особенности, возмущённого гамильтониана Ландау, а также к анализу операторов с нетрадиционным вхождением спектрального параметра. Предполагается владение основными знаниями из курсов Функционального Анализа и Уравнений Математической Физики. Будет предложено большое количество нерешённых задач для самостоятельного исследования.

В. В. Суханов

Курс посвящён спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов. В частности, рассматриваются операторы Шрёдингера на полуоси и на оси с быстро убывающим потенциалом. Также в курс входят вопросы теории Вейля и модель Фридрихса. Для изучения курса необходимо знание основ комплексного, спектрального и асимптотического анализа.

В.В. Суханов

Курс посвящён классическому методу обратной задачи (теории солитонов), который активно развивался в последней трети двадцатого века. Технически курс состоит из трёх глав. Первая глава посвящена применению задачи Римана-Гильберта к решению обратной спектральной задачи для нескольких стандартных обыкновенных дифференциальных операторов. По существу, это часть спектральной теории. Вторая часть посвящена применению метода обратной задачи для интегрирования нелинейных уравнений. Рассматривается уравнение Кортевега-де Фриза, нелинейное уравнение Шрёдингера и уравнение Sine-Gordon. Последняя часть курса посвящена асимптотическим вопросам решений нелинейных уравнений. Для изучения курса необходимо знание основ комплексного, спектрального и асимптотического анализа.

Б.А. Пламеневский

Предметом изучения являются самосопряжённые дифференциальные операторы в пространстве L₂. Спектр такого оператора, как правило, дискретен, то есть представляет собой бесконечную последовательность собственных чисел. В основном, изложение будет вестись на примере оператора Лапласа с подходящими краевыми условиями. Будут обсуждаться
1) простота первого собственного значения
2) поведение собственных чисел на бесконечности — вейлевская асимптотика.
Будут продемонстрированы:
а) вариационные методы, позволяющие обосновать главный член асимптотики для задачи Дирихле в произвольных областях
б) метод волнового уравнения, позволяющий в ряде случаев найти второй член асимптотики (здесь же мы затронем гипотезу Иврия о бильярдах)
3) гипотеза Пойа о равномерных оценках собственных чисел через объём области
4) гипотеза Каца «Можно ли услышать форму барабана?»

Н.В. Смородина

В этом спецкурсе излагается общие понятия теории случайных процессов. Определяются процессы Пуассона и Винера, изучаются свойства их траекторий. Излагаются общие понятия теории марковских процессов. Вводится понятие стохастического интеграла Ито, изучаются его свойства. Вводится понятие стохастического дифференциала, доказывается формула Ито. Вводится понятие стохастического дифференциального уравнения, доказывается теорема существования и единственности решения. Вводится понятие диффузионного марковского процесса, выводятся прямое и обратное уравнения Колмогорова. Показывается, что диффузионный марковский процесс может быть построен как решение стохастического дифференциального уравнения. Доказывается формула Фейнмана-Каца.